高一数学关于圆的问题

Question

圆C1:x^+y^=1 圆C2 (x-2)^+(y-4)^=1
过动点P(a,b),分别作圆C1,C2的切线PM,PN,切点为M,N
若PM=PN,则根号下a^+b^ + 根号下 (a-5)^+(b-1)^ 的最小值为

图片可能有点不清楚,看应该能看明白
麻烦在明天中午前告诉我答案,因为这事复习的,后天我们就要考试了
则根号下a^+b^ + 根号下 (a-5)^+(b+1)^ 的最小值为
HOHO~~~我的粗心，应该是b+1

Answer 1

先求动点P的轨迹方程。
两个圆的半径都为1，这里把两个圆的圆心点看为C1(0,0)，C2(2,4)
也就是C1M=C2N=1
又因为PM=PN
知道直角三角形C1PM和直角三角形C2PN
所以：PC1=PC2
有：a^2+b^2=(a-2)^2+(b-4)^2
a+2b=5
动点P的轨迹方程就是：a+2b=5
根号下a^+b^ + 根号下 (a-5)^+(b-1)^ 这个求的值是表示点P到点（0，0）和点（5，1）这两点距离的和
那么简单的根据三角形两边之和大于第三边的性质可以知道
取最小值时，点P在直线a+2b=5和直线a-5b=0的交点处
求得P点坐标为：（25/7，5/7）
此时最小值也就等于（0，0）和（5，1）两点之间的距离。
最小值为根号26

另外，你下面的图片里的式子和上面写的式子不一样，下面求的是点P到点（0，0）和点（5，-1）这两点距离和的最小值
这样的话由于这两点在a+2b=5这条轴的同一侧
所以，先求任一点的轴对称点，再同样的思路求和直线a+2b=5的交点。

不知道你写的哪个式子是对的，所以只求了第一个式子，如果是第二个式子的话方法思路也讲了，同样可以求。

Answer 2

PM=PN
所以P到两圆心距离相等，即P在两圆心中垂线上
则P轨迹方程为：x+2y=5
你图和打的式子不同，我就以你图中的为例。
式子意思是(a,b)到(0,0)和(5,-1)的距离和的最小值
这种求点到两点距离和或差的，用三角形两边之和大于第三边。即对称。
此题就是把(0,0)关于P轨迹直线对称点找出来（巧的是这点就是圆2的圆心(2,4)）然后求(2,4)与(5,-1)的连线所在直线和P轨迹直线的交点。即可求得式子取最小值时p的坐标。从而求得最小值。有不懂再问我本回答被提问者采纳