已知{an}是等比数列，a1=3，a4=24，数列{bn}满足：b1=0，bn+...

Question

已知{an}是等比数列，a1=3，a4=24，数列{bn}满足：b1=0，bn+bn+1=an， （1）求证an=3×2n-1； （2）求证：bn=2n-1+（-1）n．

Answer 1

分析：（1）先判断n=1时成立，然后假设当n=k时成立，只要能证明出当n=k+1时，立即可得到所有的正整数n，an=3×2n-1都成立；
（2）类似（1）的证明：先判断n=1时成立，然后假设当n=k时成立，只要能证明出当n=k+1时，立即可得到所有的正整数n，bn=2n-1+（-1）n都成立
解答：证明：（1）∵{an}是等比数列，a1=3，a4=24，
设公比为q，则3q3=24，∴q=2． （2分）
∴an=3×2n-1． （2分）
（2）（数学归纳法） （2分）
①当n=1时，b1=0=21-1+（-1）1，结论成立．
②假设当n=k时，结论成立即bk=2k-1+（-1）k，则
∵bn+bn+1=an=3×2n-1，∴2k-1+（-1）k+bk+1=3×2k-1，
∴bk+1=2k+（-1）k+1，即当n=k+1时，结论也成立．
综合①②可知，bn=2n-1+（-1）n． （2分）
点评：用数学归纳法证明问题的步骤是：第一步，验证当n=n时命题成立，第二步假设当n=k时命题成立，那么再证明当n=k+1时命题也成立．关键是第二步中要充分用上归纳假设的结论，否则会导致错误．