怎样正确理解上极限与下极限

Question

如题所述

Answer 1

上极限是指收敛子数列的极限值的上确界值。

给定无穷数列（xn），它的一切收敛子数列的极限值的上确界值，称为该无穷序列的上极限。

或定义为

因为

是递减的，所以讨论其极限值是有意义的。

依据致密性定理，有界数列必有收敛子列，收敛子列的极限中的最大者与最小者特别重要，这就是数列的上、下极限的概念。

扩展资料：

当x0∈E，m(x0)=f(x0)时，即-f(x)在x0上半部分连续时，称f在x0处下半连续。当x0∈E，M(x0)=f(x0)时，称f在x0处上半连续。这两种情形统称为f在x0处半连续。

在同一极限过程中下列式子成立：

若u存在，则上面的不等式成为等式。

Answer 2

就是普通数列极限定义的推广。如果一个数列是有界的，那么它不一定自己收敛，但是一定有收敛子列，我们把所有收敛子列的极限放一起，其上下确界就是原数列的上下极限。而且有理论保证，这俩确界是可达的，也就是说一定真的存在子列收敛到上下极限。你可以把上下极限理解为数列在无穷远处的上下确界。为什么不直接用原始的上下确界来刻画呢？因为若谈及无穷远，则我们对数列的前有限项的行为完全不感兴趣。而上下极限就是不管前面任意有限项如何的一个性质，符合我们的要求。本回答被网友采纳