高数题，跪求大神解答

Question

如题所述

Answer 1

解：∵a0=(1/π)∫(-π,π)f(x)dx=(1/π)∫(-π,0)(π+x)dx+∫(0,π)(π-x)dx=π。
an=(1/π)∫(-π,π)f(x)cosnxdx=(1/π)∫(-π,0)(π+x)cosnxdx+∫(0,π)(π-x)cosnxdx。而，∫(-π,π)f(x)cosnxdx=[((π+x)sinnx/n+(1/n^2)cosnx]丨(x=-π,0)=[1-(-1)^n]/n^2；同理，∫(0,π)(π-x)cosnxdx=[1-(-1)^n]/n^2，
∴an=2[1-(-1)^n]/(πn^2)。当n=2k(k=0,1,2……，)为偶数时，an=0，当n=2k+1即为奇数时，an=4/[π(2n+1)^2]。
bn=(1/π)∫(-π,π)f(x)sinnxdx=(1/π)∫(-π,0)(π+x)sinnxdx+∫(0,π)(π-x)sinnxdx。对前一个积分令x=-t，易得bn=0，
∴f(x)=(a0)/2+∑(an)cosnx=π/2+(4/π)∑[1/(2n+1)^2]cosnx，n=1,2，……，∞。
供参考。