利用单调有界数列必有极限存在准则,证明数列极限存在并求出

Question

如题所述

Answer 1

数列关系式
a（n+1）=√（2+an）
数学归纳法
假设递增数列即a（n+1）》an
a1=√2
n=2
a2=√（2+√2
）
a2>a1
n=k
a(k+1)>ak
n=k+1
a(k+2)=√(2+a(k+1))>a(k+1)=√(2+ak)
所以是递增数列
a（n+1）=√（2+an）>an
2+an>an²
-1〈an〈2
an〈2
so单调有界数列
这样
当n无穷大时，an的极限=a（n+1）的极限=k
k=√（2+k）
k=2

Answer 2

首先，由x1=a>0及xn+1=1/2(xn+1/xn)，得所有xn>0(n为自然数)。（由这个公式，可知xn+1与xn符合相同，而x1大于0，因此所有{xn}中元素均大于0。这个是利用下面不等式的基础）
其次证明有界：xn+1=1/2(xn+1/xn)>=1/2*2*√(xn*1/xn)=1(
利用a+b>=2√ab)。因此xn>=1(n>1)
最后证明单调性：xn+1-xn=1/2(1/xn-xn)。因为xn>=1，因此1/xn
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