简单计算一下即可，答案如图所示
用分部积分两次可得。
原积分 = I
= -(1/2) ∫e^3x d cos2x
= -(1/2)e^3x cos2x + (1/2)∫cos2x 3e^3x dx
= -(1/2)e^3x cos2x + (1/4)∫ 3e^3x dsin2x
= -(1/2)e^3x cos2x + (3/4)e^3x sin2x - (3/4)∫ sin2x 3e^3x dx
= -(1/2)e^3x cos2x + (3/4)e^3x sin2x - (9/4)I
移项解出：I = （4/13)[-(1/2)e^3x cos2x + (3/4)e^3x sin2x] + c
6)
a) 原积分 = ∫x^n de^x = x^n e^x - ∫e^x nx^(n-1) dx
b) 原积分 = x^4 e^x - 4x^3 e^x + 12x^2 e^x - 24x e^x + 24e^x + c
(5)
∫ e^(3x) sin(2x) dx
=(1/3)∫ sin(2x) de^(3x)
分部积分 ∫udv =uv -∫vdu
=(1/3)e^(3x).sin(2x) -(2/3)∫ e^(3x).cos(2x)dx
=(1/3)e^(3x).sin(2x) -(2/9)∫ cos(2x) de^(3x)
再次利用分部积分 ∫udv =uv -∫vdu
=(1/3)e^(3x).sin(2x) -(2/9)e^(3x).cos(2x) -(4/9)∫ e^(3x).sin(2x) dx
把(4/9)∫ e^(3x).sin(2x) dx 调到 等式的另一边
(13/9)∫ e^(3x) sin(2x) dx =(1/3)e^(3x).sin(2x) -(2/9)e^(3x).cos(2x)
∫ e^(3x) sin(2x) dx =(9/13)[(1/3)e^(3x).sin(2x) -(2/9)e^(3x).cos(2x)] +C
(6)
(a)
∫ x^n.e^x dx
=∫ x^n de^x
分部积分 ∫udv =uv -∫vdu
=x^n.e^x -n∫ x^(n-1).e^x dx
得出结果
∫ x^n.e^x dx =x^n.e^x -n∫ x^(n-1).e^x dx
(b)
∫x^4. e^x dx
由（a) 可得出
=x^4.e^x -4∫ x^3.e^x dx
由（a) 可得出
=x^4.e^x -4x^3.e^x +12∫ x^2.e^x dx
=x^4.e^x -4x^3.e^x +12x^2.e^x -24∫ x.e^x dx
=x^4.e^x -4x^3.e^x +12x^2.e^x -24x.e^x +24∫ e^x dx
=x^4.e^x -4x^3.e^x +12x^2.e^x -24x.e^x +24e^x +C
详细的过程全都写出来了
解答与思路说明
