研究函数y=x/x²+1的值域，请使用多种不同方法解答。导数必用。谢谢大家！

Question

如题所述

Answer 1

　　y=x/(x^2+1)，函数为奇函数，关于原点对称，定义域为全体实数。
　　y'=[(x^2+1)-x*2x]/(x^2+1)^2
　　=(1-x^2)/(x^2+1)^2.
　　令y'=0，则x^2=1，即x=±1.
　　当x^2>1,则y'<0,当0<x^2<1的时候，y'>0,所以x=1处，是函数的最大值点，x=-1处，是函数的最小值点，故函数的值域为：[-1/2,1/2]。追问

还有其他方法吗？

追答

　　有，利用a+b>=2√ab基本不等式法，分子分母同时除以x，然后对x大于0，小于0进行讨论，即可得到。

追问

sorry……还有吗？

追答

还有就是三角代换，设x=tant，化简得到关于t的三角函数来求最值。