“立方和、立方差”公式是什么?

如题所述

a^3-b^3=(a-b)^3-[-3(a^2)b+3ab^2]=(a-b)(a-b)^2+3ab(a-b)
=(a-b)(a^2-2ab+b^2+3ab)=(a-b)(a^2+ab+b^2)
有立方和公式及其推广:
(1) a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

立方和公式

a^3+b^3=(a+b) (a^2-ab+b^2)

折叠立方差公式

a^3-b^3=(a-b) (a^2+ab+b^2)

折叠3项立方和公式

a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)

推导过程:

a^3+b^3+c^3-3abc

=(a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3+c^3)-(3abc+3a^2 b+3ab^2)

=[(a+b)^3+c^3]-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a^2+b^2+2ab-ac-bc+c^2)-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab-3ab-ac-bc)

=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)

折叠编辑本段文字表达

折叠立方和,差公式

两数和(差),乘它们的平方和与它们的积的差(和),等于这两个数的立方和(差)

折叠3项立方和公式

三数之和,乘它们的平方和与它们两两的积的差,等于这三个数的立方和减三数之积的三倍

折叠编辑本段公式证明

⒈迭代法:  

我们知道:

0次方和的求和公式ΣN^0=N 即1^0+2^0+...+n^0=n

1次方和的求和公式ΣN^1=N(N+1)/2 即1^1+2^1+...+n^1=n(n+1)/2

2次方和的求和公式ΣN^2=N(N+1)(2N+1)/6 即1^2+2^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6——平方和公式,此公式可由同种方法得出,取公式(x+1)^3-x^3=3x^2+3x+1,迭代即得。

取公式:(X+1)^4-X^4=4×X^3+6×X^2+4×X+1

系数可由杨辉三角形来确定

那么就得出:

(N+1)^4-N^4=4N^3+6N^2+4N+1…………⑴

N^4-(N-1)^4=4(N-1)^3+6(N-1)^2+4(N-1)+1…………⑵

(N-1)^4-(N-2)^4=4(N-2)^3+6(N-2)^2+4(N-2)+1…………⑶

…………

2^4-1^4=4×1^3+6×1^2+4×1+1…………(n)

.

于是⑴+⑵+⑶+……+(n)有

左边=(N+1)^4-1

右边=4(1^3+2^3+3^3+……+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+……+N^2)+4(1+2+3+……+N)+N

所以呢

把以上这已经证得的三个公式代入

4(1^3+2^3+3^3+……+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+……+N^2)+4(1+2+3+……+N)+N=(N+1)^4-1

得4(1^3+2^3+3^3+……+N^3)+N(N+1)(2N+1)+2N(N+1)+N=N^4+4N^3+6N^2+4N

移项后得 1^3+2^3+3^3+……+N^3=1/4 (N^4+4N^3+6N^2+4N-N-2N^2-2N-2N^3-3N^2-N)

等号右侧合并同类项后得 1^3+2^3+3^3+……+N^3=1/4 (N^4+2N^3+N^2)

1^3+2^3+3^3+……+N^3= 1/4 [N(N+1)]^2

大功告成!

立方和公式推导完毕

1^3+2^3+3^3+……+N^3= 1/4 [N(N+1)]^2

2. 因式分解思想证明如下:a^3+b^3=a^3+a^2×b+b^3-a^2×b 

=a^2(a+b)-b(a^2-b^2)=a^2(a+b)-b(a+b)(a-b)

=(a+b)[a^2-b(a-b)]=(a+b)(a^2-ab+b^2)

折叠编辑本段公式延伸

正整数范围中 1^3 + 2^3 + …… n^3 = [n (n+1) / 2]^2=(1+2+……+n)^2

折叠编辑本段几何验证

立方和公式透过绘立体的图像,也可验证立方和。根据右图,设两个立方,总和为:

x^3+y^3

把两个立方体对角贴在一起,根据虚线,可间接得到:

(x+y)^3

要得到x^3+ y^3,可使用(x + y)^3的空白位置。该空白位置可分割为3个部分:

·x×y×(x+y)

·x×(x+y)×y

·(x+y)×x×y

把三个部分加在一起,便得:

=xy(x+y)+xy(x+y)+xy(x+y)

=3xy(x+y)

之后,把(x + y)^3减去它,便得:=(x+y)^3-3xy(x+y)公式发现两个数项皆有一个公因子,把它抽出,并得:

=(x+y)[(x+y)^2-3xy]

(x + y)^2可透过和平方公式,得到:

=(x + y)(x ^2+ 2xy + y^2-3xy)

=(x + y)(x ^2− xy + y^2)

这样便可证明:x^3+y^3=(x + y)(x^2 − xy + y^2)    

折叠编辑本段关于因数

一般而言,任取一自然数N,他的因数有1,n1,n2,n3,……,nk,N,这些因数的因数个数分别为1,m1,m2,m3,……,mk,k+2,则

1^3+m1^3+m2^3+m3^3+……+mk^3+(k+2)^3

=(1+m1+m2+m3+……+mk+k+2)^2

我们发现,上述规律对素数p是永远成立的,因为素数p的因数只有1和p,因数的个数只有1和2,所以成立。

合数的验证方法可以从因数个数出发证明,有中学水平的人可以自己证明。

比如120,有因数

1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60,120;它们的因数个数为

1,2,2,3,2,4,4,4,6,4,6,8,8,8,12,16,

1^3+2^3+2^3+3^3+2^3+4^3+4^3+4^3+6^3+4^3+6^3+8^3+8^3+8^3+12^3+16^3=8100

(1+2+2+3+2+4+4+4+6+4+6+8+8+8+12+16)^2=8100

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