如何求函数的单调区间和极值,凹凸区间和拐点?可以按下列三步骤分析:
第一步,求函数的一阶导数,判断函数的单调性,如在(a,b)内的任意一点,有f'(x)>0,则单调上升;如在(a,b)内的任意一点,有f'(x)<0,则单调上降
第二步,当f'(x)=0有解,则该解为函数的极值点,最大值点(-1,3),最小值点(3,-61)
第三步,求函数的二阶导数,判断函数的凹凸性,,如在(a,b)内的任意一点,有f"(x)>0,则f(x)在【a,b】内是凹的;如在(a,b)内的任意一点,有f"(x)<0,则f(x)在【a,b】内是凸的。
拐点(1,29)
求解过程如下:
(1)f'(x)=6x²-12x-18=6×(x²-2x-3)=6×(x+1)×(x-3)。
f'(x)=0,x1=-1,x2=3。函数在(-∞,+∞)内处处可导,不存在不可导点。
两个根将定义域划分为3个区间:
在(-∞,-1)区间内,x+1<0,x-3<0,f'(x)>0,函数单调递增;
在(-1,3)区间内,x+1>0,x-3<0,f'(x)<0,函数单调递减;
在(3,+∞)区间内,x+1>0,x-3>0,f'(x)>0,函数单调递增。
所以,x1=-1为函数的一个极大值点:f(-1)=2×(-1)³-6×(-1)²-18×(-1)-7=3;
x2=3为函数的一个极小值点:f(3)=2×3³-6×3²-18×3-7=-61。
(2)f"(x)=12x-12=0,x=1。
x<1时,f"(x)<0,因此在区间(-∞,1)函数图像为凸弧;
x>1,f"(x)>0,因此在区间(1,+∞)函数图像为凹弧。
x=1左右两侧的二次导数值改变了符号,所以:f(1)=2×1³-6×1²-18×1-7=-29。
(1,-29)为该函数曲线的拐点。