如何证明存在a， b两个数都是f（ x）的极限

Question

如题所述

Answer 1

证明如下：

假设存在a，b两个数都是函数f(x)当x→x。的极限，且a<b，任意给定ε>0。

总存在一个δ1>0，当0<丨x-x。丨<δ1时，使得丨f（x）-a丨<ε成立。

总存在一个δ2>0，当0<丨x-x。丨<δ2时，使得丨f（x）-b丨<ε成立。

上面的不等式可以等价变换为a-ε<f（x）<a+ε①和b-ε<f（x）<b+ε②。

令δ=min{δ1，δ2}，当0<丨x-x。丨<δ时。①，②两个不等式同时成立。

因为①，②两个不等式同时成立，所以①式右端必定大于或等于②式左端。

即：b-ε≤a+ε，移项得：(b-a)/2≤ε,因为(b-a)/2是一个确定大小的正数，所以这个结论与极限的定义：ε可以任意小矛盾，所以假设不成立，因此不存在a，b两个数都是f（x）的极限，除非a=b矛盾才不会出现。

扩展资料

函数极限的定义是：设函数f(x)在点x.的某一去心邻域内有定义,如果存在常数A,对于任意给定的正数ε（无论它多么小）,总存在正数δ ,使得当x满足不等式0。

参考资料：百度百科-极限

Answer 2

假设f(x)在x=x0处有两个不同的极限a和b，即：
limx→x0f(x)=a和limx→x0f(x)=b
根据极限的定义，对于任意给定的ϵ>0，存在δ1>0，当0<∣x−x0∣<δ1时，有∣f(x)−a∣<ϵ；
同样地，存在δ2>0，当0<∣x−x0∣<δ2时，有∣f(x)−b∣<ϵ。
取δ=min{δ1,δ2}，则当0<∣x−x0∣<δ时，有∣f(x)−a∣<ϵ且∣f(x)−b∣<ϵ。
但是，根据三角不等式，有：
∣a−b∣=∣(f(x)−a)−(f(x)−b)∣≤∣f(x)−a∣+∣f(x)−b∣<2ϵ
因为ϵ>0是任意的，所以∣a−b∣=0，即a=b。这与假设矛盾。
因此，不存在a,b两个数都是f(x)的极限。