复变函数证明题(关于柯西积分定理和公式还有界囿不等式)

Question

正确完整证明追加70

Answer 1

1、对任给的r>0，考虑圆周C:|z-z0|=r。由闭路变形原理知道
积分_L
f(z)dz=积分_C
f(z)dz
=积分(从0到2pi)f(z)re^(ia)*ida，其中i是虚数单位，a是角度，
令r趋于0，由于f(z)re^(ia)是趋于0的，因此上式极限是0，故
结论成立。
2、不妨设|f(0)|<1，否则由最大模原理知道f(z)是常数。
考虑F(z)=(f(z)-f(0))/(1-f(0)的共轭*f(z))，
则F'(z)=f'(z)(1-|f(0)|^2)/(1-f(0)的共轭*f(z))^2，
F'(0)=f'(0)/(1-|f(0)|^2)，对F(z)用Schwartz定理可得结论。
3、考虑充分大的R1>R，在|z|=R1上有
|f(z)|/|(z-a)(z-b)|<=M/[(R1-|a|)(R1-|b|)]，因此在
|z|=R1上的积分<=2pi*M/[(R1-|a|)(R1-|b|)]*R1，当R1趋于0时，
极限是0。而由闭路变形原理知道原积分=在|z|=R1上的积分
=极限值=0。
第二问：只需证明f'(a)=0对任意的a成立即可。
在刚证明的结论中令b=a，并取R>|a|，由此得
f'(a)=2pi*i*积分_|z|=R
f(z)/(z-a)^2dz=0证毕。