可导问题。为什么当f（x）在xo可导，而｜f（x）｜在xo不可导，就有f（xo） = 0？

Question

如题所述

Answer 1

假设 f(x0)不是0
为方便起见，我们假设 f(x0)>0, 由于f(x)在x0处连续可导，则一定存在一个数d>0使得在区间 (x0-d,x0+d)内都有 f(x)>0
也就是f(x)>0对x在(x0-d,x0+d)中都成立。
由于f(x)在(x0-d,x0+d)区间都有f(x)>0
那么我们有 |f(x)| = f(x) 对区间(x0-d,x0+d)成立，因此|f(x)|必定在x0处可导。
同理如果f(x0)<0,我们有 |f(x)| = -f(x) 对区间(x0-d,x0+d)成立，因此|f(x)|必定在x0处可导。
与前提假设矛盾。因此f(x0)必定等于0.