如图，正方形ABCD中，P为对角线BD上一点（P点不与B、D重合），PE⊥BC于E，PF⊥DC于F，连接EF，猜想AP与EF

Question

如图，正方形ABCD中，P为对角线BD上一点（P点不与B、D重合），PE⊥BC于E，PF⊥DC于F，连接EF，猜想AP与EF的关系并证明你的结论．

Answer 1

答：AP⊥EF，AP=EF，
证明：延长FP交AB于M，延长AP交EF于N，
即四边形MFCB为矩形，
所以MF=BC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，
∴MF=AB，
∵PF⊥DC，
∴∠PFD=90°，
∵正方形ABCD，
∴∠PDF=45°，
∴∠PDF=∠DPF，
∴DF=PF=AM，
∵CD=BC=AB，
∴PM=BM=PE，AM=PF，
在△AMP和△FPE中，

AM＝FP ∠AMP＝∠FPE＝90° PM＝PE

∴△AMP≌FPE（SAS），
∴AP=EF，∠PFE=∠MAP，
∵∠FPN=∠MPA，
∴∠PNF=∠AMP=90°，
∴AP⊥EF．