随机变量的数学期望公式证明

Question

正的随机变量的数学期望公式应该是xp(x)对x从0到无穷积分，怎样证明它还等于1-F(x)从零到无穷的积分呢？这里p(x)等于概率密度函数，F(x)为分布函数。

Answer 1

以下记int^s_t表示从t到s积分，Infty表示无穷。
lim表示当M趋于正无穷时的极限。
E(x)=int^Infty_0 xp(x)dx
=lim (MF(M) - int^M_0 F(x)dx)——分部积分
=lim (MF(M) - M + int^M_0 (1-F(x))dx).

由于0 <= M(1-F(M)) = M int^Infty_0 p(x) dx
而int^Infty_0 p(x) dx = 1 <= int^M_0 xp(x) dx（M充分大时），
因为积分收敛，所以积分的尾巴趋于0，亦即lim int^Infty_M xp(x) dx =0。<----这个很重要

将以上几个式子合起来，就证明了该结论。

Answer 2

以下记int^s_t表示从t到s积分，Infty表示无穷。
lim表示当M趋于正无穷时的极限。
E(x)=int^Infty_0
xp(x)dx
=lim
(MF(M)
-
int^M_0
F(x)dx)——分部积分
=lim
(MF(M)
-
M
+
int^M_0
(1-F(x))dx).
由于0
<=
M(1-F(M))
=
M
int^Infty_0
p(x)
dx
而int^Infty_0
p(x)
dx
=
1
<=
int^M_0
xp(x)
dx（M充分大时），
因为积分收敛，所以积分的尾巴趋于0，亦即lim
int^Infty_M
xp(x)
dx
=0。<----这个很重要
将以上几个式子合起来，就证明了该结论。

Answer 3

以下记int^s_t表示从t到s积分，Infty表示无穷。
lim表示当M趋于正无穷时的极限。
E(x)=int^Infty_0
xp(x)dx
=lim
(MF(M)
-
int^M_0
F(x)dx)--分部积分
=lim
(MF(M)
-
M
+
int^M_0
(1-F(x))dx).
由于0
<=
M(1-F(M))
=
M
int^Infty_0
p(x)
dx
而int^Infty_0
p(x)
dx
=
1
<=
int^M_0
xp(x)
dx(M充分大时)，
因为积分收敛，所以积分的尾巴趋于0，亦即lim
int^Infty_M
xp(x)
dx
=0。<----这个很重要
将以上几个式子合起来，就证明了该结论。

Answer 4

不可能吧！第二个积分不是发散的吗？怎么可能