如何证明三棱锥的高是其三角形斜边的一半？

Question

如题所述

Answer 1

如上图 S-ABC为任意三棱锥
求其高的几何作图方法如下：
1）做SD⊥AB,D在AB上
2）做CE⊥AB,E在AB上
3）做DF//CE,F在BC上
4）做SG⊥DF,交DF于G点（G有可能在DF延长线上）
则SG为三棱锥的高.
证明：
CE⊥AB,DF//CE,∴DF⊥AB
又∵SD⊥AB,且SD与DF相交于D点
∴AB⊥面SDF,且SG属于面SDF∴AB⊥SG
又∵SG⊥DF,且AB与DF相交于D点
∴SG⊥面ADF
∵D,F都属于面ABC
∴SG⊥面ABC,则SG为过S点到面ABC对垂线,按照三棱锥高的定义,SG即为三棱锥的高.