线代，正交矩阵的一道题？

请问Q为什么不单位化？还有，Q的-1 是咋求出来的？

推荐答案 2020-02-26

Q不是必须要单位化。这个答案是这样做的：在求特征值-2的特征向量时用到一个定理：实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量是正交的。这样就求出了-2的特征向量，现在三个特征值的特征向量都有了，把它们按列拼成矩阵Q，根据特征值和特征向量的定义，当x是A的特征值a的特征向量时，就有Ax=ax成立，因此计算可得AQ=QT，其中T为图中的对角矩阵diag(1,4,-2)。这就是图中

成立的原因，仅仅是用了特征值和特征向量的定义而已，根据这个式子就能算出A了，可以不用将Q单位化成正交矩阵。如果把Q单位化成正交矩阵，好处就是不用费力计算Q的逆了，因为正交矩阵的逆就等于它的转置。是否把Q单位化成正交矩阵，取决于你想怎么做。如果单位化，就不用计算Q的逆，如果不单位化，就要计算Q的逆。

另外，求Q的逆就用一般的求逆方法就可以了，由于Q只有3阶，你可以用伴随矩阵法求它的逆，当然初等变换法也是可以的。具体方法最好去翻你的教材，不行的话参考下面的博客也是可以的：

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