“三等分角”的问题
“三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．某校研究性学习小组借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在 轴上、边OA与函数 的图象交于点P，以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R．分别过点P和R作 轴和 轴的平行线，两直线相交于点M ，连接OM得到∠MOB，则∠MOB= ∠AOB．要明白他们的方法，请研究以下问题：
（1）设 、 ，求直线OM对应的函数表达式（用含 的代数式表示）
（2）分别过点P和R作 轴和 轴的平行线，两直线相交于点Q．请说明Q点在直线OM上
（3）依据(1)(2)结论证明：∠MOB= ∠AOB.
（1）设 P(a，1/a)、R(b,1/b) ，求直线OM对应的函数表达式（用含 的代数式表示）
（2）求OA的函数关系式
（3）依据以上结论,试利用平面直角坐标系三等分一的钝角
古希腊三个著名问题之一的三等分角，现在美国就连许多没学过数学的人也都知道.美国的数学杂志社和以教书为职业的数学会员，每年总要收到许多“角的三等分者”的来信;并且，在报纸上常见到:某人已经最终地“解决了”这个不可捉摸的问题.这个问题确实是三个著名的问题中最容易理解的一个，因为二等分角是那么容易，这就自然会使人们想到三等分角为什么不同样的容易呢?
用欧几里得工具，将一线段任意等分是件简单的事;也许古希腊人在求解类似的任意等分角的问题时，提出了三等分角问题;也许(更有可能)这问题是在作正九边形时产生的，在那里，要三等分一个60°角.
在研究三等分角问题时，看来希腊人首先把它们归结成所谓斜向(verging
problem)问题.任何锐角ABC(参看图31)可被取作矩形BCAD的对角线BA和边BC的夹角.考虑过B点的一条线，它交CA于E，交DA之延长线于F，且使得EF=2(BA).令G为EF之中点，则
EG=GF=GA=BA，
从中得到:
∠ABG=∠AGB=∠GAF+∠GFA=2∠GFA=2∠GBC，
并且BEF三等分∠ABC.因此，这个问题被归结为在DA的延长线和AC之间，作一给定长度2(BA)的线段EF，使得EF斜向B点.
如果与欧几里得的假定相反，允许在我们的直尺上标出一线段E’F’=2(BA)，然后调整直尺的位置，使得它过B点，并且，E’在AC上，F’在DA的延长线上;则∠ABC被三等分.对直尺的这种不按规定的使用，也可以看作是:插入原则(the
insertion
principle)的一种应用.这一原则的其它应用，参看问题研究4.6.
为了解三等分角归结成的斜向问题，有许多高次平面曲线已被发现.这些高次平面曲线中最古老的一个是尼科梅德斯(约公元前240年)发现的蚌线.设c为一条直线，而O为c外任何一点，P为c上任何一点，在PO的延长线上截PQ等于给定的固定长度k.于是，当P沿着c移动时，Q的轨迹是c对于极点O和常数k的蚌线(conchoid)(实际上，只是该蚌线的一支).设计个画蚌线的工具并不难①，用这样一个工具，就可以很容易地三等分角.这样，令∠AOB为任何给定的锐角，作直线MN垂直于OA，截OA于D，截OB于L(如图32所示).然后，对极点O和常数2(OL)，作MN的蚌线.在L点作OA的平行线，交蚌线于C.则OC三等分∠AOB.
借助于二次曲线可以三等分一个一般的角，早期希腊人还不知道这一方法.对于这种方法的最早证明是帕普斯(Pappus，约公元300年).利用二次曲线三等分角的两种方法在问题研究4.8中可以找到.
有一些超越(非代数的)曲线，它们不仅能够对一个给定的角三等分，而且能任意等分.在这这样的曲线中有:伊利斯的希皮阿斯(Hippias，约公元前425年)发明的割圆曲线(quadratrix)和阿基米得螺线(spiral
of
Archimeds).这两种曲线也能解圆的求积问题.关于割圆曲线在三等分角和化圆为方问题上的应用，见问题研究4.10.
多年来，为了解三等分角问题，已经设计出许多机械装置、联动机械和复合圆规.①参看R.C.Yates.The
Trisection
Prolem.其中有一个有趣的工具叫做战斧，不知道是谁发明的，但是在1835年的一本书中讲述了这种工具.要制做一个战斧，先从被点S和T三等分的线段RU开始，以SU为直径作一半圆，再作SV垂直于RU，如图33所示.用战斧三等分∠ABC时，将这一工具放在该角上，使R落在BA上，SV通过B点，半圆与BC相切于D.于是证明:△RSB，△TSB，△TDB都全等，所以，BS和BT三等分给定的角.可以用直尺和圆规在描图纸上绘出战斧，然后调整到给定的角上.在这种条件下，我们可以说用直角和圆规三等分一个角(用两个战斧，则可以五等分一个角).
欧几里得工具虽然不能精确地三等分任意角，但是用这些工具的作图方法，能作出相当好的近似的三等分.一个卓越的例子是著名的蚀刻师、画家A.丢勒(Albrecht
Durer)于1525年给出的作图方法.取给定的∠AOB为一个圆的圆心角(参看图34)，设C为弦AB的靠近B点的三等分点.在C点作AB的垂线交圆于D.以B为圆心，以BD为半径，作弧交AB于E.设令F为EC的靠近E点的三等分点，再以B为圆心，以BF为半径，作弧交圆于G.那么，OG就是∠AOB的近似的三等分线.我们能够证明:三等分中的误差随着∠AOB的增大而增大;但是，对于60°的角大约只差1〃，对于90°角大约只差18〃
用欧几里得工具，将一线段任意等分是件简单的事;也许古希腊人在求解类似的任意等分角的问题时，提出了三等分角问题;也许(更有可能)这问题是在作正九边形时产生的，在那里，要三等分一个60°角.
在研究三等分角问题时，看来希腊人首先把它们归结成所谓斜向(verging
problem)问题.任何锐角ABC(参看图31)可被取作矩形BCAD的对角线BA和边BC的夹角.考虑过B点的一条线，它交CA于E，交DA之延长线于F，且使得EF=2(BA).令G为EF之中点，则
EG=GF=GA=BA，
从中得到:
∠ABG=∠AGB=∠GAF+∠GFA=2∠GFA=2∠GBC，
并且BEF三等分∠ABC.因此，这个问题被归结为在DA的延长线和AC之间，作一给定长度2(BA)的线段EF，使得EF斜向B点.
如果与欧几里得的假定相反，允许在我们的直尺上标出一线段E’F’=2(BA)，然后调整直尺的位置，使得它过B点，并且，E’在AC上，F’在DA的延长线上;则∠ABC被三等分.对直尺的这种不按规定的使用，也可以看作是:插入原则(the
insertion
principle)的一种应用.这一原则的其它应用，参看问题研究4.6.
为了解三等分角归结成的斜向问题，有许多高次平面曲线已被发现.这些高次平面曲线中最古老的一个是尼科梅德斯(约公元前240年)发现的蚌线.设c为一条直线，而O为c外任何一点，P为c上任何一点，在PO的延长线上截PQ等于给定的固定长度k.于是，当P沿着c移动时，Q的轨迹是c对于极点O和常数k的蚌线(conchoid)(实际上，只是该蚌线的一支).设计个画蚌线的工具并不难①，用这样一个工具，就可以很容易地三等分角.这样，令∠AOB为任何给定的锐角，作直线MN垂直于OA，截OA于D，截OB于L(如图32所示).然后，对极点O和常数2(OL)，作MN的蚌线.在L点作OA的平行线，交蚌线于C.则OC三等分∠AOB.
借助于二次曲线可以三等分一个一般的角，早期希腊人还不知道这一方法.对于这种方法的最早证明是帕普斯(Pappus，约公元300年).利用二次曲线三等分角的两种方法在问题研究4.8中可以找到.
有一些超越(非代数的)曲线，它们不仅能够对一个给定的角三等分，而且能任意等分.在这这样的曲线中有:伊利斯的希皮阿斯(Hippias，约公元前425年)发明的割圆曲线(quadratrix)和阿基米得螺线(spiral
of
Archimeds).这两种曲线也能解圆的求积问题.关于割圆曲线在三等分角和化圆为方问题上的应用，见问题研究4.10.
多年来，为了解三等分角问题，已经设计出许多机械装置、联动机械和复合圆规.①参看R.C.Yates.The
Trisection
Prolem.其中有一个有趣的工具叫做战斧，不知道是谁发明的，但是在1835年的一本书中讲述了这种工具.要制做一个战斧，先从被点S和T三等分的线段RU开始，以SU为直径作一半圆，再作SV垂直于RU，如图33所示.用战斧三等分∠ABC时，将这一工具放在该角上，使R落在BA上，SV通过B点，半圆与BC相切于D.于是证明:△RSB，△TSB，△TDB都全等，所以，BS和BT三等分给定的角.可以用直尺和圆规在描图纸上绘出战斧，然后调整到给定的角上.在这种条件下，我们可以说用直角和圆规三等分一个角(用两个战斧，则可以五等分一个角).
欧几里得工具虽然不能精确地三等分任意角，但是用这些工具的作图方法，能作出相当好的近似的三等分.一个卓越的例子是著名的蚀刻师、画家A.丢勒(Albrecht
Durer)于1525年给出的作图方法.取给定的∠AOB为一个圆的圆心角(参看图34)，设C为弦AB的靠近B点的三等分点.在C点作AB的垂线交圆于D.以B为圆心，以BD为半径，作弧交AB于E.设令F为EC的靠近E点的三等分点，再以B为圆心，以BF为半径，作弧交圆于G.那么，OG就是∠AOB的近似的三等分线.我们能够证明:三等分中的误差随着∠AOB的增大而增大;但是，对于60°的角大约只差1〃，对于90°角大约只差18〃
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第1个回答 2012-05-15
（1）因为P（a,1/a），R(b,1/b)且是分别过点P和R作 x轴和 y轴的平行线 所以M（b，1/a）
设OM的函数表达式为y=kx
1/a=bk
k=1/ab
所以y=x/ab
（2）因为P（a,1/a），R(b,1/b)且是分别过点P和R作 x轴和 y轴的平行线 所以Q（a，1/b）
因为Q在OM上，所以把Q（a，y）代入y=x/ab
y=1/b
因为1/b=1/b
所以Q在OM上
易证得四边形PQRM为矩形
所以PS=RS=OS=MS
所以∠SQR=∠SRQ
因为∠PSQ为△SQR外角
所以∠PSQ=2∠SQR
因为QR平行于X轴
所以∠SQR=∠SOH
因为PR=2PO
所以PO=PS
所以∠PSQ=∠POS
所以∠POS=2∠SQR
所以∠POS=2∠SOH
所以∠MOB=1/3 ∠AOB
(3)不好意思，没想出来
设OM的函数表达式为y=kx
1/a=bk
k=1/ab
所以y=x/ab
（2）因为P（a,1/a），R(b,1/b)且是分别过点P和R作 x轴和 y轴的平行线 所以Q（a，1/b）
因为Q在OM上，所以把Q（a，y）代入y=x/ab
y=1/b
因为1/b=1/b
所以Q在OM上
易证得四边形PQRM为矩形
所以PS=RS=OS=MS
所以∠SQR=∠SRQ
因为∠PSQ为△SQR外角
所以∠PSQ=2∠SQR
因为QR平行于X轴
所以∠SQR=∠SOH
因为PR=2PO
所以PO=PS
所以∠PSQ=∠POS
所以∠POS=2∠SQR
所以∠POS=2∠SOH
所以∠MOB=1/3 ∠AOB
(3)不好意思，没想出来
第2个回答 2009-05-08
有怀疑精神是件好事，只有这样才能保持清醒的头脑，关键是看一下你的方法是不是只用到了无刻度直尺与圆规，而没有借用其他的东西。
如果真的做到了，那你就出名了。
如果真的做到了，那你就出名了。
第3个回答 2009-05-10
你怎么保证函数图像绝对准确？
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