正交矩阵的定义是什么？

Question

如题所述

Answer 1

在矩阵论中，正交矩阵是一个方块矩阵，其行向量和列向量都是正交的单位向量，使得该矩阵的转置矩阵为其逆矩阵。

定义：

设A是一个n×n的矩阵，如果A的行向量和列向量都是正交的单位向量，并且A−1=AT，则称A为正交矩阵。

性质：

正交矩阵的行列式值为1或-1。

正交矩阵的转置矩阵为其逆矩阵。

正交矩阵的乘积也是正交矩阵。

举例：

以下是两个正交矩阵的例子：

A = [[1, 0], [0, 1]]

B = [[cos θ, -sin θ], [sin θ, cos θ]]


其中，A是一个单位矩阵，其行向量和列向量都是单位向量。B是一个旋转矩阵，其行向量和列向量都是正交的单位向量。



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应用：

正交矩阵在线性代数、信号处理、图像处理等领域都有广泛的应用。

在线性代数中，正交矩阵可以用于对向量进行正交化、求解线性方程组、计算特征值和特征向量等。

在信号处理中，正交矩阵可以用于滤波、压缩、重构等。

在图像处理中，正交矩阵可以用于图像旋转、缩放、变换等。

Answer 2

正交变换是保持图形形状和大小不变的几何变换，包含旋转，轴对称及上述变换的复合。定义：n级实矩阵A称为正交矩阵，如果A'A=E。(A'表示A的转置，E是单位矩阵)
用正交变换,具有保持几何形状不变的优点!
分类
设A是n维欧式空间V的一个正交变换σ在一组标准正交基下的矩阵
若丨A丨=1，则称σ为第一类正交变换，
若丨A丨=-1，则称σ为第二类正交变换。
等价刻画
设σ是n维欧式空间V的一个线性变换，于是下面4个命题等价
1.σ是正交变换
2.σ保持向量长度不变，即对于任意α∈V，丨σ(α)丨=丨α丨
3.如果ε_1,ε_2,...,ε_n是标准正交基，那么σ(ε_1),σ(ε_2),...,σ(ε_n)也是标准正交基
4.σ在任意一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵