设函数f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f（0）f（1）＜0．求证：存在ξ∈（0，1），使得ξf′

设函数f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f（0）f（1）＜0．求证：存在ξ∈（0，1），使得ξf′（ξ）+（2-ξ）f（ξ）=0．

推荐答案推荐于2018-05-30

令g（x）=x²e^-xf（x），则g（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且
g′（x）=xe^-x[xf′（x）+（2-x）f（x）]．
因为f（0）f（1）＜0，
由连续函数的零点存在定理可得，?c∈（0，1）使得f（c）=0，
从而g（c）=0．
又因为g（0）=0，
故对函数g（x）在区间[0，c]上利用罗尔中值定理可得，
存在ξ∈（0，1），使得g′（ξ）=0，
即：ξe^-ξ[ξf′（ξ）+（2-ξ）f（ξ）]=0．
又因为ξe^-ξ≠0，
故ξf′（ξ）+（2-ξ）f（ξ）=0．

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...连续,在其开区间可导,且f(0)f(1)<0,证明至少存在 ζ属该区间,使2f...答：证明：由零点定理，存在d位于(0，1)，使得f(d)=0。令F(x)=x^2f(x)，则F(0)=0，F(d)=0，且F(x)在(0，d)上可微。由Rolle中值定理，存在c位于(0,1)，使得F'(c)=0，即 c^2f'(c)+2cf(c)=0，由于c不等于0，除以c即可得到结论。

设f(x)在【0,1】上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=0.证明:存在ξ∈(0,1...答：证明：令g(x)=xf(x)，g'(x)=f(x)+xf'(x)∵f(x)在[0,1]连续，在（0,1）可导 ∴g(x)在[0,1]连续，在（0,1）可导 ∵g(0)=0，g(1)=f(1)=0 ∴根据罗尔中值定理知道，存在ξ∈（0,1）使得g'(ξ)=0 ∴g'(ξ)=f(ξ)+ξf'(ξ)=0 ∴f'(ξ)=-f(ξ) /ξ 命题...

...0,1]上连续,在区间 (0,1)内可导,且 f(0)=1,f(1)=0.证明?答：如图，求解过程与结果如下

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