△ABC三边长BC=17,CA=18,AB=19,过△ABC内的点P向△ABC三边分别作垂线PD,PE,PF,且BD+CE+AF=27,求BD+BF的长

Question

证明题

Answer 1

BD+CE+AF=27,AB+BC+CA=54
所以BF+AE+CD=27
设x=CD,y=AE,z=BF,则x+y+z=27
则BD=17-x,CE=18-y,AF=19-z
BD+BF=17-x+z

由于过D,E,F分别作对应边的垂线共点
所以BD^2+CE^2+AF^2=BF^2+AE^2+CD^2(可通过勾股定理证得)
代入得(17-x)^2+(18-y)^2+(19-z)^2=x^2+y^2+z^2
消去平方项，并移项，得
34x+36y+38z=17^2+18^2+19^2
2(z-x)=17^2+18^2+19^2-36(x+y+z)=17^2+18^2+19^2-36*27
=17^2+18^2+19^2-3*18^2
=(17^2-18^2)+(19^2-18^2)=2
所以z-x=1，所以17+z-x=18
所以BD+BF=18

Answer 2

BD+CE+AF=1/2(AB+BC+AC)=27 所以BD+BD=1/2(BC+BA)=18

Answer 3

BD+CE+AF=1/2(AB+BC+AC)=27 所以BD+BD=1/2(BC+BA)=18