||a|-|b||小于等于|a-b|成立吗？？如果成立是根据什么定理呢？？

Question

如题所述

Answer 1

成立，其实这是三角形不等式：
||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|
证明：
先证|a+b|≤|a|+|b|，即：-|a|-|b|≤a+b≤|a|+|b|
因为：-|a|≤a≤|a|，-|b|≤b≤|b|
因此，相加得：-|a|-|b|≤a+b≤|a|+|b|，即：|a+b|≤|a|+|b|
将b换成-b，即有：|a-b|≤|a|+|b|

再证||a|-|b||≤|a±b|
由于|a|=|a-b+b|≤|a-b|+|b|；|b|=|b-a+a|≤|a-b|+|a|
所以，|a|-|b|≤|a-b|，|b|-|a|≤|a-b|，即：||a|-|b||≤|a+b|
将b换成-b，即有：||a|-|b||≤|a-b|

因此，
||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|

有不懂欢迎追问追问

“所以|a|-|b|≤|a-b|，|b|-|a|≤|a-b|，即：||a|-|b||≤|a+b|”这一步不是可以直接是“即：||a|-|b||≤|a-b|”吗？为什么是即：“||a|-|b||≤|a+b|
将b换成-b，即有：||a|-|b||≤|a-b|
”呢？？

谢谢帮忙

追答

呃，手快打错了
再证||a|-|b||≤|a±b|
由于|a|=|a-b+b|≤|a-b|+|b|；|b|=|b-a+a|≤|a-b|+|a|
所以，|a|-|b|≤|a-b|，|b|-|a|≤|a-b|，即：||a|-|b||≤|a-b|
将b换成-b，即有：||a|-|b||≤|a-b|

有不懂欢迎追问

Answer 2

成立。根据三角形两边之差小于第三边。追问

还是不懂，能更详细些吗？？？？

本回答被提问者采纳

Answer 3

成立的。
分a、b同号和a、b异号讨论。

Answer 4

成立 前面是两个非负数相减结果肯定是a\b各种符号中最小的