有关绝对值的不等式

Question

这种不等式有哪些？像a的绝对值＋b的绝对值小于还是大于a＋b的绝对值（我忘记了）就是这种。唉，我小学没学好啊！尽量多啊！

Answer 1

其实这是三角形不等式：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|

证明：

先证|a+b|≤|a|+|b|，即：-|a|-|b|≤a+b≤|a|+|b|

因为：-|a|≤a≤|a|，-|b|≤b≤|b|

因此，相加得：-|a|-|b|≤a+b≤|a|+|b|，即：|a+b|≤|a|+|b|

将b换成-b，即有：|a-b|≤|a|+|b|

再证||a|-|b||≤|a±b|

由于|a|=|a-b+b|≤|a-b|+|b|；|b|=|b-a+a|≤|a-b|+|a|

所以，|a|-|b|≤|a-b|，|b|-|a|≤|a-b|，即：||a|-|b||≤|a-b|

将b换成-b，即有：||a|-|b||≤|a+b|

因此，||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|

其他不等式：

①√((a²+b²)/2)≥(a+b)/2≥√ab≥2/(1/a+1/b)

②√(ab)≤(a+b)/2

③a²+b²≥2ab

④ab≤(a+b)²/4

⑤||a|-|b| |≤|a+b|≤|a|+|b|

Answer 2

其实这是三角形不等式：
||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|
证明：
先证|a+b|≤|a|+|b|，即：-|a|-|b|≤a+b≤|a|+|b|
因为：-|a|≤a≤|a|，-|b|≤b≤|b|
因此，相加得：-|a|-|b|≤a+b≤|a|+|b|，即：|a+b|≤|a|+|b|
将b换成-b，即有：|a-b|≤|a|+|b|

再证||a|-|b||≤|a±b|
由于|a|=|a-b+b|≤|a-b|+|b|；|b|=|b-a+a|≤|a-b|+|a|
所以，|a|-|b|≤|a-b|，|b|-|a|≤|a-b|，即：||a|-|b||≤|a-b|
将b换成-b，即有：||a|-|b||≤|a+b|

因此，
||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|
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Answer 3

||a|-|b||<=|a+b|<=|a|+|b|
前面是ab<=0时取等，后面是ab>=0时取等

Answer 4

|a+b|<=|a|+|b|
|a+b|>=||a|-|b||