单位元(恒等元)的原像是同态的像与核。它们与正规子群和商群关系：实数的加法群”到“正实数的乘法群”就是同构，映射函数是对数函数。
因为是一一映射；而“实数加法群”到“复平面上单位圆上面点的乘法群”，只能是同态，映射函数是e^ix，因为映射函数是以2π为周期的周期函数，所以每个单位圆上的点可以映射过来对应无穷多个实数。
应用
n次交错群 A_n (即所有偶置换)是n元对称群S_n的正规子群。
特殊线性群 SL_n 是一般线性群GL_n的正规子群。
任何交换群的子群都是其正规子群。
一个群G总有两个平凡的正规子群H={e}和H=G。