留数又称
残数，复变函数论中一个重要的概念。是
解析函数f（z）沿一条正向简单闭曲线的积分值。
定义是：f（z）在 0<|z－a| ≤R上解析，即a是f（z）的孤立奇点
留数定理及其应用
，则称积分值（1/2πi）∫|z－a|=Rf（z）dz为f（z）关于a点的留数 ，记作Res[f（z），a] 。如果f（z）是平面流速场的复速度，而a是它的旋源点（即旋涡中心或源汇中心），则积分∫|z－a|=Rf（z）dz表示旋源的强度——环流量，所以留数是环流量除以2πi的值。由于解析函数在孤立奇点附近可以展成罗朗级数：f（z）=∑ak（z－a）k ，将它沿|z－a|=R逐项积分，立即可见Res[f(z)，a]=a-1 ，这表明留数是解析函数在孤立奇点的罗朗展式中负一次幂项的系数。
在复分析中，留数定理是用来计算解析函数沿着闭曲线的
路径积分的一个有力的工具，也可以用来计算实函数的积分。它是
柯西积分定理和柯西积分公式的推广。
留数定理：设D是
复平面上单连通开区域，C是其边界,函数f(z)在D内除了有限个奇点a1,a2,...,an外解析,在闭区域D+C上除了a1,a2,...,an外连续,则在C上围道积分∮f(z)dz=2πi∑Res(f(z),ak)