1、若z=f(x,y)在点M(x,y)的某一邻域内存在偏导数f，且它们在点M处连续,则z=f(x,y)在点M可微。
2、证明:由于偏导数在点M(x,y)连续,0<θ,θ<1,α=0,
△z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y)
=[f(x+△x,y+△y)-f(x,y+△y)]+[f(x,y+△y)-f(x+y)]
=f(x+θ△x,y+△y)△x+f(x,y+θ△y)△y
=[f(x,y)+α]△x+[f(x,y)+β]△y
=f(x,y)△x+f(x,y)△y+α△x+β△y
而||≤|α|+|β|,
所以△z=f(x,y)△x-f(x,y)△y+o(ρ),
即f(x,y)在点M可微。
拓展资料：
1、设平面点集D包含于R2,若按照某对应法则f,D中每一点P(x,y)都有唯一的实数z与之对应,则称f为在D上的二元函数。
2、且称D为f的定义域,P对应的z为f在点P的函数值,记作z=f(x,y);全体函数值的集合称为f的值域.
3、一般来说,二元函数是空间的曲面,如双曲抛物面(马鞍形)z=xy.
4、二元函数可以认为是有两个自变量一个因变量，可以认为是三维的函数，空间函数。
5、f为定义在点集D上的二元函数.P0为D中的一点，对于任意给定的正数ε,总存在相应的正数δ,只要P在P0的δ临域和D的交集内,就有|f(P0)-f(P)|<ε,则称f关于集合D在点P0处连续。
6、若f在D上任何点都连续,则称f是D上的连续函数。
参考资料：百度百科-二元函数
具体证明步骤如下：
证明二元函数的可微性即证明二元函数可微的一个充分条件：
若z=f(x,y)在点M(x,y)的某一邻域内存在偏导数f、f,且它们在点M处连续,则z=f(x,y)在点M可微。
证明:由于偏导数在点M(x,y)连续,0<θ,θ<1,α=0,
△z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y)
=[f(x+△x,y+△y)-f(x,y+△y)]+[f(x,y+△y)-f(x+y)]
=f(x+θ△x,y+△y)△x+f(x,y+θ△y)△y
=[f(x,y)+α]△x+[f(x,y)+β]△y
=f(x,y)△x+f(x,y)△y+α△x+β△y
而||≤|α|+|β|,
所以△z=f(x,y)△x-f(x,y)△y+o(ρ),即f(x,y)在点M可微。
注意:定理4的逆定理不成立。即:偏导数存在且连续是可微的充分非必要条件。
例如:f(x,y)=(x+y)sin (x+y≠0)0 (x+y=0),
因为f(0,0)===0,同理:f(0,0)=0,所以f(x,y)在(0,0)点的偏导数存在。
又f(x,y)=2xsin+(x+y)cos(x+y≠0)0 (x+y=0)
所以f(x,y)=(2xsin-cos),
其中2xsin=0,
而 cos中,若取路径y=x,
显然cos=cos不存在,所以f(x,y)不存在。
因此f(x,y)在点(0,0)处偏导数存在但不连续。
而 = (△x+△y)sin=0,所以f(x,y)在(0,0)点可微。
扩展资料：
设平面点集D包含于R2,若按照某对应法则f,D中每一点P(x,y)都有唯一的实数z与之对应,则称f为在D上的二元函数.且称D为f的定义域,P对应的z为f在点P的函数值,记作z=f(x,y);全体函数值的集合称为f的值域。
设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义,对这个邻域中的点P(x,y)=(x0+△x,y0+△y),若函数f在P0点处的增量△z可表示为:
△z=f(x0+△x,y+△y)-f(x0,y0)=A△x+B△y+o(ρ),其中A,B是仅与P0有关的常数,ρ=〔(△x)^2+(△y)^2〕^0.5.o(ρ)是较ρ高阶无穷小量,即当ρ趋于零是o(ρ)/ρ趋于零。则称f在P0点可微。
参考资料：如何证明二元函数的可微性-CSDN
本回答被网友采纳证明二元函数的可微性即证明二元函数可微的一个充分条件，证明过程如下：
扩展资料：
可微性的几何意义
可微的充要条件是曲面z=f(x,y)在点P(x0,y0,f(x0,y0))存在不平行于z轴的切平面Π的充要条件是函数f在点P0(x0,y0)可微.
这个切面的方程应为Z-z=A(X-x0)+B(Y-y0)
设平面点集D包含于R²,若按照某对应法则f,D中每一点P(x,y)都有唯一的实数z与之对应,则称f为在D上的二元函数.且称D为f的定义域,P对应的z为f在点P的函数值,记作z=f(x,y);全体函数值的集合称为f的值域.
一般来说,二元函数是空间的曲面,如双曲抛物面(马鞍形)z=xy.二元函数可以认为是有两个自变量一个因变量，可以认为是三维的函数，空间函数。
与连续性的定义相似对于任意给定的ε>0,存在某一个正数δ,对于D上任意一点P0,只要P在P0的δ邻域与D的交集内,就有|f(P0)-f(P)|<ε,则称f关于集合D一致连续.一致连续比连续的条件要苛刻很多.
参考资料：百度百科——二元函数
本回答被网友采纳用课本上的定义去证，即Δz-[fx(x0,y0)Δx+fy (x0,y0)Δy]为ρ的高阶无穷小，ρ=√（△x^2＋△y^2）也就是求当ρ→0时，Lim{Δz-[fx(x0,y0)Δx+fy (x0,y0)Δy]}/ρ=0。以下附一例题：
总之要注意二元函数在某点可偏导且连续只是在该点可微的充分条件，同时在某点可微只能说明在该点偏导存在，但不一定连续。
证明:由于偏导数在点M(x,y)连续,0<θ,θ<1,α=0,
△z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y)
=[f(x+△x,y+△y)-f(x,y+△y)]+[f(x,y+△y)-f(x+y)]
=f(x+θ△x,y+△y)△x+f(x,y+θ△y)△y
=[f(x,y)+α]△x+[f(x,y)+β]△y
=f(x,y)△x+f(x,y)△y+α△x+β△y
而||≤|α|+|β|,
所以△z=f(x,y)△x-f(x,y)△y+o(ρ),
即f(x,y)在点M可微。
设函数y= f(x)，若自变量在点x的改变量Δx与函数相应的改变量Δy有关系Δy=A×Δx+ο(Δx)，其中A与Δx无关，则称函数f(x)在点x可微，并称AΔx为函数f(x)在点x的微分，记作dy，即dy=A×Δx，当x= x0时，则记作dy∣x=x0。
可微条件
1、必要条件
若函数在某点可微分，则函数在该点必连续；
若二元函数在某点可微分，则该函数在该点对x和y的偏导数必存在。
2、充分条件
若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在，且均在这点连续，则该函数在这点可微。
扩展资料
函数可导的条件：
函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。
可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。
一元函数：可导必然连续,连续推不出可导,可导与可微等价。
多元函数：可偏导与连续之间没有联系,也就是说可偏导推不出连续,连续推不出可偏导。
多元函数中可微必可偏导,可微必连续,可偏导推不出可微,但若一阶偏导具有连续性则可推出可微。