如图,已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-1,0)和C(0,4)。

Question

23、（11分）如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(－1，0)和C(0，4)。
⑴ 求这条抛物线的解析式；
⑵ 直线y＝x＋1与此抛物线相交于A、D两点，点P是抛物线上一个动点，点P的横坐标是m，且－1＜m＜3，设△ADP的面积为S，求S的最大值及对应的m值；
⑶ 点M是直线AD上一动点，直接写出使△ACM为等腰三角形的点M的坐标。

Answer 1

(1)y=-x^2+bx+c 把点A和C坐标代入 得0=-1-b+c 和 4=c 由此得c=4 b=3 所以y=-x^2+3x+4
(2)y=-x^2+3x+4 和 y=x+1 消去y 得 x^2-2x-3=0 x1=-1 x2=3 点D为(3,4)
AD^2=(3-(-1))^2+ (4-0)^2=32 AD=4#2 (用#代替√ )
设点P(m,n) 点P到直线y=x+1的距离为d=|m-n+1|/#2=|m-(-m^2+3m+4)+1|/#2
=|m^2-2m-3|/#2=|(m-1)^2-4|/#2
要S最大，只需d最大，当m=1时，d的最大值=4/#2 所以S的最大值=1/2*4#2*4/#2=8
(3)M在AD上，直线AD方程y=x+1
直线AC方程x/(-1)+y/4=1 即4x-y+4=0（1）
AC的中点G(-1/2,2) ， 过G且垂直于AC的直线为y-2=-1/4(x-(-1/2)) （2）
由（1）（2）得M(-1/2,2)

Answer 2

分析：（1）利用待定系数法将A（-1，0）和C（0，4）代入y=-x2+bx+c，求出即可；
（2）首先求出两函数的交点坐标，再利用函数图象上点的性质得出PQ=（-m2+3m+4）-（m+1）=-m2+2m+3，进而求出
S△ADP=S△APQ+S△DPQ=-2m2+4m+6，再利用二次函数最值求法得出即可；
（3）根据平面内两点之间的距离公式以及点M在函数图象上的性质分别分析得出即可．
解答：解：（1）A（-1，0）和C（0，4）代入y=-x2+bx+c，
得 -1-b+c=0 c=4 ，
解得 b=3 c=4 ，
∴此抛物线解析式为：y=-x2+3x+4．
（2）由题意得： y=x+1 y=-x2+3x+4 ，
解得： x1=-1 y1=0 ， x2=3 y2=4 ，
∴点D的坐标为（3，4），
过点P作PQ∥y轴，交直线AD与点Q，
∵点P的横坐标是m，
又点P在抛物线y=-x2+3x+4
∴P的纵坐标是-m2+3m+4，点Q的横坐标也是m，
∵点Q在直线y=x+1上，
∴Q的纵坐标是m+1，
∴PQ=（-m2+3m+4）-（m+1）=-m2+2m+3，
S△ADP=S△APQ+S△DPQ，
=1 2 (-m2+2m+3)[m-(-1)]+1 2 (-m2+2m+3)(3-m)，
=1 2 (-m2+2m+3)×4，
=-2m2+4m+6，
=-2（m-1）2+8，
当m=1，△ADP的面积S的最大值为8．

（3）M1( 34 2 -1， 34 2 )，M2(- 34 2 -1，- 34 2 )，M3(4，5)，M4(7 10 ，17 10 )．
给我加赞，加分。。。。

Answer 3

解：（1）A（-1，0）和C（0，4）代入y=-x2+bx+c，
得 -1-b+c=0 c=4 ，
解得 b=3 c=4 ，
∴此抛物线解析式为：y=-x2+3x+4．

（2）由题意得： y=x+1 y=-x2+3x+4 ，
解得： x1=-1 y1=0 ， x2=3 y2=4 ，
∴点D的坐标为（3，4），
过点P作PQ∥y轴，交直线AD与点Q，
∵点P的横坐标是m，
又点P在抛物线y=-x2+3x+4
∴P的纵坐标是-m2+3m+4，点Q的横坐标也是m，
∵点Q在直线y=x+1上，
∴Q的纵坐标是m+1，
∴PQ=（-m2+3m+4）-（m+1）=-m2+2m+3，
S△ADP=S△APQ+S△DPQ，
=1 2 (-m2+2m+3)[m-(-1)]+1 2 (-m2+2m+3)(3-m)，
=1 2 (-m2+2m+3)×4，
=-2m2+4m+6，
=-2（m-1）2+8，
当m=1，△ADP的面积S的最大值为8．

（3）M1(根号34分之2 -1 )，M2(- 根号34 分之2 -1，- 34 2 )，M3(4，5)，M4(7分之 10 ，17 分之10 )．
这样绝对正确！！

Answer 4

第三问错