如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分

Question

如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）试探索OE与OF之间的数量关系．
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，并给出说理过程．
（3）在（2）的前提下，如果四边形AECF是正方形，那么△ABC将是什么三角形呢？请说明理由

Answer 1

1、证明：在BC的延长线上取点D
∵CE平分∠ACB
∴∠ACE＝∠BCE
∵CF平分∠ACD
∴∠ACF＝∠DCF
∵MN∥BC
∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF
∴∠ACE＝∠OEC，∠ACF＝∠OFC
∴OE＝OC，OF＝OC
∴OE＝OF
2、当O运动到AC的中点时，AECF是矩形
证明：
∵O是AC的中点
∴AO＝CO
∵OE＝OF
∴平行四边形AECF
∵CE平分∠ACB
∴∠ACE＝∠ACB/2
∵CF平分∠ACD
∴∠ACF＝∠ACD/2
∴∠ECF＝∠ACE+∠ACF＝∠ACB/2+∠ACD/2＝（∠ACB+∠ACD）/2＝180/2＝90
∴矩形AECF
3、△ABC为直角三角形，∠ACB＝90时，四边形AECF是正方形
证明：
∵∠ACB＝90
∴∠ACD＝90
∵CE平分∠ACB
∴∠BCE＝∠ACB/2＝45
∵CF平分∠ACD
∴∠DCF＝∠ACD/2＝45
∵MN∥BC
∴∠OEC＝∠BCE＝45，∠OFC＝∠DCF＝45
∴∠OEC＝∠OFC
∴CE＝CF
∵矩形AECF
∴正方形AECF

此题前几天做过，请参考：
http://zhidao.baidu.com/question/412193808.html?oldq=1

Answer 2

1、证明：在BC的延长线上取点D
∵CE平分∠ACB
∴∠ACE＝∠BCE
∵CF平分∠ACD
∴∠ACF＝∠DCF
∵MN∥BC
∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF
∴∠ACE＝∠OEC，∠ACF＝∠OFC
∴OE＝OC，OF＝OC
∴OE＝OF
2、当O运动到AC的中点时，AECF是矩形
证明：
∵O是AC的中点
∴AO＝CO
∵OE＝OF
∴平行四边形AECF
∵CE平分∠ACB
∴∠ACE＝∠ACB/2
∵CF平分∠ACD
∴∠ACF＝∠ACD/2
∴∠ECF＝∠ACE+∠ACF＝∠ACB/2+∠ACD/2＝（∠ACB+∠ACD）/2＝180/2＝90
∴矩形AECF
3、△ABC为直角三角形，∠ACB＝90时，四边形AECF是正方形
证明：
∵∠ACB＝90
∴∠ACD＝90
∵CE平分∠ACB
∴∠BCE＝∠ACB/2＝45
∵CF平分∠ACD
∴∠DCF＝∠ACD/2＝45
∵MN∥BC
∴∠OEC＝∠BCE＝45，∠OFC＝∠DCF＝45
∴∠OEC＝∠OFC
∴CE＝CF
∵矩形AECF
∴正方形AECF

此题前几天做过，请参考：
http://zhidao.baidu.com/question/412193808.html?oldq=1

Answer 3

证明:∵MN//BC
∴∠OEC=∠BCE
∴∠OFC=∠FCG
∵∠BCE=∠OCE(OE是∠BCA的内角平分线)
∴∠OEC=∠OCE
∴OE=OC
∵∠OCF=∠FCG(OF是∠BCA的外角平分线)
∴∠OCF=∠OFC
∴OF=OC
∴OE=OF
2 O运动到AC边中点时,四边形AECF是矩形.
证明：∵ OE=OC
OE=OF
当O为AC中点时 OA=OC
∴OE=OC=OF=OA
∴四边形AECF是矩形