如图，△ABC中，AD是∠A平分线交BC于点D，求证：AB/AC=BD/DC.

Question

作DE∥AC
10点半写出来加200

Answer 1

这就是角平分线分线段成比例定理，证法有多种，应用的都是平行线分线段成比例定理。
过C作CE∥AD交BA的延长线于E，则AB/AE=BD/DC
∵AD∥CE，∴∠BAD=∠E，∠CAD=∠ACE，
∵∠BAD=∠CAD，∴∠E=∠ACE，∴AE=AC
∴AB/AC=BD/DC追问

可以作DE∥AC吗

追答

完全可以。
∵DE∥AC，∴BD/DC=BE/EA，
∵∠EDA=∠CAD，∠CAD=∠BAD
∴∠EAD=∠BAD，∴AE=DE
又ΔBED∽ΔBAC，∴BE/ED=AB/AC，
∴BE/AE=AB/AC
∴AB/AC=BD/DC。

Answer 2

因为DE平行于AC,所以得到BE/AB=DE/AC,
又因为AD为角A的角平分线，所以∠CAD=∠BAD，
又因为DE平行于AC，所以∠EDA=∠CAD,
所以∠EDA=∠BAD,即DE=AE,
所以BE/AB=AE/AC，推出BE/AE=AB/AC
因为DE平行于AC,所以BE/AE=BD/DC
故AB/AC=BD/DC

Answer 3

过C作CE∥AD交BA的延长线于E，则AB/AE=BD/DC
∵AD∥CE，∴∠BAD=∠E，∠CAD=∠ACE，
∵∠BAD=∠CAD，∴∠E=∠ACE，∴AE=AC
∴AB/AC=BD/DC

Answer 4

由正弦定理可以知道
在ΔBAD中有：Sin∠BAD/BD=Sin∠BDA/AB，即Sin∠BAD/Sin∠BDA=BD/AB
在ΔBAC中有：Sin∠BAC/CD=Sin∠CDA/AC，即Sin∠BAC/Sin∠CDA=CD/AC
又∵∠BAD=∠BAC，∴Sin∠BAD=Sin∠BAC
∵∠BDA+∠CDA=π，∴Sin∠BDA=Sin（π-∠BDA）=Sin∠CDA
∴Sin∠BAD/Sin∠BDA=Sin∠BAC/Sin∠CDA，即BD/AB=CD/AC
∴AB/AC=BD/DC