如图计算二重积分的值

Question

如题所述

Answer 1

积分区域可以变为：1 ≤ y ≤2, y ≤ x ≤ y²
二重积分可写为：
∫(1, 2)dy ∫(y, y²)sin(pi * x / 2y) dx
= ∫(1, 2)dy[-2y/pi * cos(pi * x / 2y)]|(y², y)
=∫(1,2)dy[-2y/pi*cos(pi * y / 2) + 2y/pi*cos(pi/2)]
=∫(1,2) [-2y/pi*cos(pi*y / 2)] dy(用分部积分法，类似于ycosy的原函数）
=-4/pi²(ysin(pi*y/2) + cos(pi*y/2))| (1, 2)
= 8/pi²
关键在于把积分区域变一下以改变积分顺序，不然没法做。当你看到sin(pi*x / 2y)就应该想到这一步，因为这个函数关于y没有初等形式的原函数，你是积不出来的，所以必须要改变积分顺序，先对x积分，就可以积了。