E,F为正方形上两点,且BE:EC=3:1,F为CD中点,连接AF,EF,证明AF⊥EF

Question

如题所述

Answer 1

证明：设正方形的边长为4K
∵正方形ABCD，边长为4K
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4K，∠B＝∠C＝∠D＝90
∵BE：CE＝3：1
∴BE＝3K，CE＝K
∵F为CD的中点
∴CF＝DF＝2K
∴AE²＝AB²+BE²＝16K²+9K²＝25K²
AF²＝AD²+DF²＝16K²+4K²＝20K²
EF²＝CE²+CF²＝K²+4K²＝5K²
∴AE²＝AF²+EF²
∴∠AFE＝90
∴AF⊥EF

Answer 2

由已知得EC:FD=CF:DA=1:2,且角C与角A都为直角,所以三角形ECF与三角形FDA相似,
角AFD=角FEC,所以角AFD+角EFC=角FEC+角EFC=90度,所以角AFD=180度-(角AFD+角EFC)=90度,所以AF⊥EF

Answer 3

如果是选择填空的话，用特殊值法，设边长为4，则BE为3，EC为1,DF=CF=2,连接AE，用勾股定理分别求出AE的值，则AE²=AB²+BE²=4²+3²=25,AF²＝AD²+DF²＝16²+4²＝20
EF²＝CE²+CF²＝1²+4²＝5
∵25=20+5∴AE²＝AF²+EF²
∴∠AFE＝90
∴AF⊥EF

Answer 4

证明：设正方形的边长为4K
∵正方形ABCD，边长为4K
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4K，∠B＝∠C＝∠D＝90
∵BE：CE＝3：1
∴BE＝3K，CE＝K
∵F为CD的中点
∴CF＝DF＝2K
∴AE²＝AB²+BE²＝16K²+9K²＝25K²
AF²＝AD²+DF²＝16K²+4K²＝20K²
EF²＝CE²+CF²＝K²+4K²＝5K²
∴AE²＝AF²+EF²
∴∠AFE＝90
∴AF⊥EF