数列的构造法怎么运用

Question

如题所述

Answer 1

数列构造法能解决很多数列难求的问题，但不是绝对好用。碰到无法构造的需要猜想，证明等方法。
例1：
a1=1，
an+1=2an
+
3*（1/2）^(n+1)
看好，前后像等比，却又多了一项，且此时该等比数2和后面加的那个（1/2）不一样。这一点很重要，我们构造形式一致：
【an+1+p*（1/2）^(n+1)】=2【an
+
p*（1/2）^(n+1)】
看到一定要凑形式上的一致。
待定系数，反过来展开和原来式子作比对。对应系数，项都相等。
得p=1
【an+（1/2）^(n)】这个数列成等比数列，公比为2
，看好
，里面的n在变化，这是第n项，下一项是n+1
里面1/2的指数那里当然相应地也是n+1
，这就是形式上严格一致。渗透了待定系数的思想原理。
例2：
已知正数数列列：nan
-（n+1）a（n+1）=2n（n+1）an*an+1
，求an，n∈N*
此题连同上面一道题都是我亲手现编的，可以看到比较复杂。
但是这道题目不难发现，两边n（n+1）存在重复情形，所以两边做除法，反正n∈N*，可以除。而且一样的是，an*a（n+1）和上面n（n+1）也是一样重复，又是正数列，除吧。
一做除法，欣然欢喜：1/(n+1)*a(n+1)
-
1/n*an=2
原来1/n*an
是倒数成等差数列啊。
此题上来一个大式子很吓人，稍作变形，而且往倒数方向考虑，约去重复对称的项和式子。拨云见日。
先整两个例子，以后还有问题，找我和我的团队就行

Answer 2

一般就是把递推式构造成等差或等比数列，
具体问题才好具体分析，追问

求具体

追答

针对具体的题目才好进行构造
举个列给你吧
a[n+1]=2an-1就有几种不同的构造方法，
递推式可化为a[n+1]-1=2(a[n]-1),也可化为a[n+1]-a[n]=2(a[n]-a[n-1])
还可以化为a[n+1]/2^(n+1)=a[n]/2^n-1/2^(n+1)等

前两种都是构造成等比数列，
第三种是等差数列的形式，可以有累加原理进行求解

这三种都可以进行求解，但是哪种更简单，可以看出第一种是最简单最容易得，至于第二种根据等比数列的通项公式求出来还要用到累加原理，而第三种就只用到累加原理
可看出后两种较第一种方法就显得复杂

所以我说，具体问题还得具体分析才行

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