高数应用题

Question

注水入深8米上顶直径8米的正圆锥形容器中。七速率为4m^3/min。当水深5米时，其表面上升的速率为多少？ 详细过程，多谢

Answer 1

解答：

《解法一----微积分的一般解法》

这是一道微分应用题(Rate of change with time)

设任意时刻t时，水深h,是平面的半径为r.
t时水的体积：V =（1/3)πr²h

根据相似三角形得： 锥高/水深 = 锥口半径/水面半径
8/h = 4/r, h = 2r

∴V = (1/3)πr²h =(1/3)π(h/2)²h
= (1/12)πh³
dV/dt = (1/4)πh²dh/dt
dh/dt = 4(dV/dt)/(πh²)
= 4*4/(25π)
= 16/25π
≈0.204 (m/min)

《解法二----初等代数解法》
某一瞬间水面上升的速度 = 这一瞬间水的体积增加量/这一瞬间水面的面积
= 4/(πr^2) = 4/(π2.5^2) = 16/25π (m/min)

[说明：根据相似比：锥高/水深 = 锥口半径/水面半径，得：r=2.5m)

Answer 2

设所求点(x，y)，则d＝根号[(x－3)平＋(y－0)平]＝根号[5x平－6x＋9]＝根号[5(x－3/5)平＋36/5]，当x＝3/5时，dmin＝6根号5/5。此时x＝3/5，y＝正负2根号15/5。所以所求点是(3/5，2根号15/5)和(3/5，－2根号15/5)。

Answer 3

水深5米时,直径为5米
圆面积为25pi/4
注入速度为4
所以水面上升速度为4/(25pi/4)=16/25pi

Answer 4

2√2、因为P=1,所以焦点为（1,0），把X=1带入抛物线、得Y=±2，任选一个点（1，2）或(1，-2)、连接三角形PFA、利用勾股定理得PA=2√2。

Answer 5

根据平面闭区域x²＋y²≤1，可知有-1≤x≤1且-1≤y≤1。
T
=
x²+2y²-x
=
(x
-
1/2)²
+
2y²
-
1/4
易得当x
=
1/2,
y=0时，T有最小值-1/4
又
T
=
x²+2y²-x
=
(x²+y²)
+
y²
-
x
<=
1
+
y²
-
x
<=
1
+
(1-x²)
-
x
=
-x²
-
x
+
2
=
-(x
+
1/2)²
+
9/4
当x
=
-1/2,
y
=
(根号3)/2
或者
-(根号3)/2时，T有最大值9/4
希望有用。