第一,若k=0,F(x)=f(x),显然当x≥0时,恒为正,当x<0时,恒为负,此种情况无零点;
第二,若k<0,F(x)=f(x)-kx,显然当x≥0时,F(x)恒为正,当x<0时,F(x)恒为负,此种情况无零点;
第三,若k>0,x正半轴上有且只有一个零点,x负半轴上有且只有一个零点,需分段考虑:
当x≥0时,方程f(x)-kx=0有且只有一个正根x=1/√(4k²-1),故k>1/2才能保证方程有且只有一个正根;
当x<0时,方程f(x)-kx=0无负根或有且只有一个负根,通过数形结合分析可知,如果k大于或等于函数f(x)=-ln(1-x)在x=0处的切线斜率,则方程f(x)-kx=0无负根;如果k小于函数f(x)=-ln(1-x)在x=0处的切线斜率,则方程f(x)-kx=0有且只有一个负根;经计算得到该切线斜率为1,故k<1才能保证方程有且只有一个负根.
综上可知,函数F(x)有且只有两个零点的条件是k∈(1/2,1).
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