设f(x)是在(负无穷,正无穷)内对任意的实数x,y,满足f(x+y)=f(x)+f(y)

Question

，且f（x）在x=0处连续，证明f（x）在（正无穷，负无穷）内连续

Answer 1

由f(x+y)=f(x)+f(y)，令x=y=0得：f(0)=0。

因为f（x）在x=0处连续，对ε>0.存在δ>0,当|x|<δ时，有：|f(x)-f(0)|=|f(x)|<ε

任取实数x0, 当|x-x0|<δ时，由上式：|f(x-x0)|<ε
故：|f(x)-f(x0)|=|f(x-x0+x0)-f(x0)|=|f(x-x0)+f(x0)-f(x0|=|f(x-x0)|<ε
即：f（x）在x0处连续追问

十分感谢你的解答，我想问一下，我这种证明题不会是哪个知识点不清楚我想改进一点，谢谢

追答

1.连续的定义,要证明：|f(x)-f(x0)|=<ε,对本题而言较重要。
2.技巧：改写f(x)=f(x-x0+x0)=f(x-x0)+f(x0)-f(x0)

Answer 2

由f(x+y)=f(x)+f(y)，令x=y=0得:f(0)=0。
因为f(x)在x=0处连续，对ε>0.存在δ>0,当|x|<δ时，有:|f(x)-f(0)|=|f(x)|<ε
任取实数x0,
当|x-x0|<δ时，由上式:|f(x-x0)|<ε
故:|f(x)-f(x0)|=|f(x-x0+x0)-f(x0)|=|f(x-x0)+f(x0)-f(x0|=|f(x-x0)|<ε
即:f(x)在x0处连续