高中数学圆的方程题目

Question

已知以C（2，0)为圆心和两条射线Y=X和Y=-X，（X大于等于0）都相切，设动直线L与圆C相切，并交两条射线于A,B，求AB中点M的轨迹方程
我求出来的总是（2X+Y^2-X^2)^2=2X^2+2Y^2，无法化简啊，急求答案

Answer 1

圆心C（2，0)到两条射线Y=X和Y=-X距离为√2即为半径,
故圆C的方程为:(x-2)^2+y^2=2
设直线L的方程:y=kx+m, 由L与圆相切得,由圆心到直线的距离等于半径长得:
2k^2+4km+m^2-2=0 (1)
联立y=x与y=kx+m解得交点A(m/(1-k), m/(1-k))
联立y=-x与y=kx+m解得交点B(-m/(1+k), m/(1+k))
设M(x, y),由M为AB的中点得x=mk/(1-k^2) (2)
y=m/(1-k^2) (3)
由(2) (3) 有k=x/y (4)
m=(y^2-x^2)/y (5)
把(4) (5)代入(1)化简得(y^2-x^2)(y^2-x^2+4x-2)=0
由已知y≠x, y≠-x 所以y^2-x^2≠0
所以y^2-x^2+4x-2=0, 注意到题中x≥o,则x>0
故所求AB中点M的轨迹方程为:x^2-y^2-4x+2=0 (x>0)

Answer 2

.设直线L的方程为y=kx+b.A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)由y=x and y=kx+b 得A(b/1-k,b/1-k),(k≠0)
同理得B(-b/1+k,b/1+k)，∴x=(x1+x2)/2=kb/1-k² y=(y1+y2)/2=b/1-k²
由x和y得：k=x/y,b=(y²-x²)/y
∵圆C与y=x和y=-x都相切
∴圆C的半径r=√2
∵AB：kx-y+b=0与圆C相切，
∴|2k+b|/√k²+1=√2 ,即2k2+4kb+b2=0
将k和b代入2k2+4kb+b2=0
(y2-x2)+4x(y2-x2)-2(y2-x2)=0
∵y2≠x2，∴y2-x2+4x-2=0即(x-2)²-y²=2.(y≠0)
当L⊥x轴时，线段AB的中点M(2±√2，0)也符合上面的方程，其轨迹在∠AOB内赞同1| 评论本回答被提问者采纳

Answer 3

圆的方程题目

Answer 4

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