自动控制原理：开环传递函数，稳态误差的求解，劳斯稳定性判据

Question

上图中（2）为单位负反馈系统的开环传递函数，，分别求出系统的静态位置误差系数Kp，静态速度误差系数Kv，静态加速度误差系数Ka；并求出当输入信号为1（t）， t1（t）和t^2*1(t) （t平方*1（t））时系统的稳态误差。

Answer 1

楼主你好,此题属于稳态误差里的基本题目
不过要指出的是,使用静态误差系数法计算稳态误差的时候,必须确保系统的稳定性
为此先用劳斯判据判断系统的稳定性.
由闭环特征方程1+GH=0,得s(s+1)(s^2+2s+2)+50(s+4)=0即s^4+3s^3+4s^2+52s+200=0
列出劳斯表后容易知道,第三行的首元素为(12-52)/3<0,即第一列存在符号改变,故系统是不稳定的,无法继续讨论稳态误差.
用Matlab验证如下:
>> solve('s*(s+1)*(s*s+2*s+2)+50*(s+4)')
ans =
3.4275706426573287822307421128057*i + 1.8284684247380346062045006659385
1.8284684247380346062045006659385 - 3.4275706426573287822307421128057*i
1.4743670928014194620446492648669*i - 3.3284684247380346062045006659385
- 1.4743670928014194620446492648669*i - 3.3284684247380346062045006659385
系统有两个正实部的根.

可能楼主对静态误差系数法尚存有疑问,如果我们忽略稳定性的步骤,则计算如下:
Kp=lim<s→0>GH=∞ (因为分母上有一个s因子,1/s是无穷大,其他常数项)
Kv=lim<s→0>sGH=50*4/(1*2)=100
Ka=lim<s→0>s^2*GH=0
对于三种典型信号输入的组合R=R0*1(t)+R1*t*1(t)+R2*(1/2)t^2*1(t)
则稳态误差为:ess=R0/(1+Kp)+R1/Kv+R2/Ka
都是很容易计算的,其中三种信号分别有
R0=1,R1=0,R2=0
R0=0,R1=1,R2=0
R0=0,R1=0,R2=2 (注意t^2是2倍单位加速度输入,单位加速度输入是(1/2)t^2)
至此则可求得三个稳态误差.