「每日一题18」椭圆种韦达定理与直线定点问题

Question

如题所述

Answer 1

已知椭圆x^2/4+y^2=1的左顶点为A,过A作两条互相垂直的AM、AN交椭圆与M、N两点,当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标，当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点，若不过定点，请说明理由。
解：椭圆方程：x/4+y=1即x+4y=4
a=4，a=2，点A（-2，0）
当Kam=1时，直线方程：y=x+2
将直线方程代入椭圆，整理：5x+16x+12=0
韦达定理：x1×x2=12/5，
所以点M横坐标：(12/5)/(-2)=-6/5,纵坐标=-6/5+2=4/5
点M（-6/5，4/5）
当直线AM的斜率变化时，设AM的斜率为k，则AN的斜率为-1/k
直线AM方程：y=k(x+2)
直线AN方程：y=-1/k(x+2)
将AM方程代入椭圆，整理：(4k+1)x+16kx+16k-4=0
韦达定理：x1*x2=(16k-4)/(4k+1)
则点M横坐标=(2-8k)/(4k+1),纵坐标=4k/(4k+1)
将AN方程代入椭圆，整理：(k+4)x+16x+16-4k=0
韦达定理：x1*x2=（16-4k)/(k+4)
点N的横坐标=(2k-8)/(k+4),纵坐标=-4k/(k+4)
直线MN的斜率=[4k/(4k+1)+4k/(k+4)]/[(2-8k)/(4k+1)-(2k-8)/(k+4)]=5k/4(1-k)
直线MN方程：y-4k/(4k+1)=[5k/4(1-k)][x-(2-8k)/(4k+1)]
化简：y=[5k/4(1-k)](x+6/5)
由此，可知，过定点（-6/5，0）