用正交线性替换化下列二次型为标准形，并求出所作的正交线性变换

Question

说明：（1）先将二次型表成矩阵形式（2分）；（2）求出其二次型的矩阵 的所有特征值（5分）；（3）求出对应于特征值的特征向量（6分）；（4）将这些特征向量正交单位化（3分）；（5）最后写出所作的正交变换和标准型（4分）。请按此5步顺序给出解题过程（共20分）。

Answer 1

一、解：二次型的矩阵 A=

1 -2 0

-2 2 -2

0 -2 3

|A-λE|=

λ-1 2 0

2 λ-2 2

0 2 λ-3

r1-(1/2)(λ-1)r2 - r3

0 -(1/2)(λ-1)(λ-2) -2(λ-2)

2 λ-2 2

0 2 λ-3

第1行提出(λ-2),

按第1列展开

|λE-A| = (λ-2)* (-2)*

-(1/2)(λ-1) -2

2 λ-3

-2 乘到 第1列

|λE-A| = (λ-2)*

λ-1 -2

-4 λ-3

=(λ-2)[(λ-1)(λ-3)-8]

=(λ-2)(λ^2-4λ-5)

=(λ-2)(λ-5)(λ+1).

所以A的特征值为λ1=-1,λ2=2,λ3=5.

对λ1=-1, (A+E)X=0 的基础解系为 a1=(2,2,1)'

对λ2=2, (A-2E)X=0 的基础解系为 a2=(-2,1,2)'

对λ3=5, (A-5E)X=0 的基础解系为 a3=(1,-2,2)'

(不需正交化)

单位化得:

b1=(2/3,2/3,1/3)'

b2=(-2/3,1/3,2/3)'

b3=(1/3,-2/3,2/3)'

令Q=(b1,b2,b3), 则Q为正交矩阵, X=QY 为正交变换

f = -y1^2+2y2^2+5y3^2

二、解: 二次型的矩阵 A =

0 0 1

0 1 0

1 0 0

|A-λE|=

-λ 0 1

0 1-λ 0

1 0 -λ

= -(1-λ)^2(1+λ).

所以A的特征值为: λ1=λ2=1, λ3=-1.

(A-E)X=0 的基础解系为 a1=(0,1,0)^T, a2=(1,0,1)^T --正交

(A+E)X=0 的基础解系为 a3=(1,0,-1)^T

将a1,a2,a3单位化得

b1=(0,1,0)^T, b2=(1/√2,0,1/√2)^T,b3=(1/√2,0,-1/√2)^T

令Q=(b1,b2,b3),则Q为正交矩阵

所以 X=QY 为正交变换, 且有 f = y1^2+y2^2-y3^2

扩展资料：

设σ是n维欧氏空间V的一个线性变换，于是下面4个命题等价

1、σ是正交变换；

2、σ保持向量长度不变，即对于任意α∈V，丨σ(α)丨=丨α丨；

3、如果ε_1,ε_2,...,ε_n是标准正交基，那么σ(ε_1),σ(ε_2),...,σ(ε_n)也是标准正交基；

4、σ在任意一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。

参考资料来源：百度百科-正交交换

Answer 2

解: 二次型的矩阵 A=
1 -2 0
-2 2 -2
0 -2 3

|A-λE|=
λ-1 2 0
2 λ-2 2
0 2 λ-3

r1-(1/2)(λ-1)r2 - r3
0 -(1/2)(λ-1)(λ-2) -2(λ-2)
2 λ-2 2
0 2 λ-3

第1行提出(λ-2),
按第1列展开
|λE-A| = (λ-2)* (-2)*
-(1/2)(λ-1) -2
2 λ-3

-2 乘到 第1列
|λE-A| = (λ-2)*
λ-1 -2
-4 λ-3

=(λ-2)[(λ-1)(λ-3)-8]
=(λ-2)(λ^2-4λ-5)
=(λ-2)(λ-5)(λ+1).
所以A的特征值为λ1=-1,λ2=2,λ3=5.

对λ1=-1, (A+E)X=0 的基础解系为 a1=(2,2,1)'
对λ2=2, (A-2E)X=0 的基础解系为 a2=(-2,1,2)'
对λ3=5, (A-5E)X=0 的基础解系为 a3=(1,-2,2)'
(不需正交化)
单位化得:
b1=(2/3,2/3,1/3)'
b2=(-2/3,1/3,2/3)'
b3=(1/3,-2/3,2/3)'

令Q=(b1,b2,b3), 则Q为正交矩阵, X=QY 为正交变换
f = -y1^2+2y2^2+5y3^2

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