设 AB = c ，AC = b ，BE = CF = x ，
则 AE = AB-BE = c-x ，AF = AC-CF = b-x ；
由余弦定理可得：
EF² = AE²+AF²-2*AE*AF*cosA = (c-x)²+(b-x)²-2(c-x)(b-x)cosA ，
BC² = AB²+AC²-2*AB*AC*cosA = c²+b²-2cbcosA ；
因为，EF²-BC² = (x²-2cx)+(x²-2bx)-2(x²-cx-bx)cosA = 2x(x-c-b)(1-cosA) ，
其中，0 < x < c ，0 < x < b ，cosA < 1 ，
可得：x-c-b < 0 ，1-cosA > 0 ，
所以，EF²-BC² < 0 ，
即有：EF² < BC² ，
所以，EF < BC 。
则 AE = AB-BE = c-x ，AF = AC-CF = b-x ；
由余弦定理可得：
EF² = AE²+AF²-2*AE*AF*cosA = (c-x)²+(b-x)²-2(c-x)(b-x)cosA ，
BC² = AB²+AC²-2*AB*AC*cosA = c²+b²-2cbcosA ；
因为，EF²-BC² = (x²-2cx)+(x²-2bx)-2(x²-cx-bx)cosA = 2x(x-c-b)(1-cosA) ，
其中，0 < x < c ，0 < x < b ，cosA < 1 ，
可得：x-c-b < 0 ，1-cosA > 0 ，
所以，EF²-BC² < 0 ，
即有：EF² < BC² ，
所以，EF < BC 。
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第1个回答 2012-10-16
作平行四边形EFDB,则EF=BD,DF=FC,所以FDC=(180-DFC)/2=90-DFC/2<90
所以BDF<180 FDC<90
所以BDC=360-BDF-FDC>90
所以BC>BD=EF
得证
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