函数在点的领域内高阶可导，怎么样利用高阶倒数是否为零判断其是否为极值点或拐点？

Question

如前n阶倒数为零，n+1阶不为零，怎么判断该点是否为极值点或拐点？

Answer 1

基本规则是：一阶导数为0，驻点（稳定点），是可能的极值点；在此基础上，若二阶导数为零，则为拐点；若大于0则为极小值点，若小于0，则为极大值点。
如果1到n阶导数都为0，n+1阶不为0，表明n阶导数在该点有单调性，从而n-1阶导数在该点有凹凸性（在该点取得极值），可依次往前推。关键是要考虑到该点附近的各阶导数值的正负。具体结果要视问题而定。

Answer 2

若函数f(x)在x0的某个邻域内n阶可导，且f(x)在x0处一阶导数，二阶导数，三阶导数...n-1阶导数都为0，而n阶导数不为0，那么有如下结论：

n为奇数时，f(x)在x0出有拐点但无极值

n为偶数时，f(x)在x0出有极值但无拐点

Answer 3

若函数在该点的二阶导数小于0，则为极大值点；
若函数在该点的二阶导数大于0，则为极小值点；

Answer 4

求极值点或拐点只用到2阶求导，目前还没发现3阶导数对于图形的几何意义。所以你所说的n目前只能是1.
具体的上面的说得很清楚了