如图在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，E为AC上一点，已知BC=BE+AE，求证BE平分∠ABC

Question

知道平分求线段很简单，关键是知道线段关系求平分，希望给出详细解答，初中数学问题，学生问的没回答出来啊。

Answer 1

取BC的中点为D，延长DA至F，使∠FBC＝80°，作∠ABC的平分线交FC于G，令BG交AC于H，延长CA交FB于M。
∵AB＝AC、BD＝CD，∴AD⊥BC，∴FD是BC的垂直平分线，∴FB＝FC，
∴∠FCB＝∠FBC=80°。

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，又∠BAC＝100°，∴∠ABC＝∠ACB＝40°。
∵∠CBG＝∠ABG、∠ABC＝40°，∴∠CBG＝20°，
∴∠BGC＝180°－∠CBG－∠FCB＝180°－20°－80°＝80°，
∴∠FGB＝∠FCB＋∠CBG＝80°＋20°＝100°。

∵∠AHB＝∠CBG＋∠ACB＝20°＋40°＝60°、∠HBF＝∠FBC－∠CBG＝80°－20°＝60°，
∴∠AHB＝∠HBF，又∠BAH＝∠FGB＝100°，∴△BAH∽△FGB，
∴AH/BG＝BH/FB，∴BG/FB＝AH/BH。

∵∠BCG＝∠BGC＝80°，∴BG＝BC，∴BC/FB＝AH/BH。
∵∠FCB＝80°、∠ACB＝40°，∴∠FCM＝40°，∴∠FCM＝∠BCM，
∴由三角形内角平分线定理，有：BM/FM＝BC/FC，而FB＝FC，∴BM/FM＝BC/FB，
∴BC/FB＝（BC－BM）/（FB－FM）＝（BC－BM）/BM。

由BC/FB＝AH/BH、BC/FB＝（BC－BM）/BM，得：（BC－BM）/BM＝AH/BH。
∵∠MBH＝∠MHB＝60°，∴△MBH是等边三角形，∴BM＝BH＝MH。
∴由（BC－BM）/BM＝AH/BH，得：（BC－BH）/BH＝AH/BH，∴BC－BH＝AH，
∴BC＝AH＋BH，又BC＝AE＋BE，∴AH＋BH＝AE＋BE。

∵E、H都在线段AC上，∴H的位置只能是下列的情形之一：
①H在A、E之间；②E在A、H之间；③E、H重合。
一、若H在A、E之间，则AE＋BE＝AH＋HE＋BE＞AH＋BH，与AH＋BH＝AE＋BE矛盾，
　　∴H不能在A、E之间。
二、若E在A、H之间，则AH＋BH＝AE＋EH＋BH＞AE＋BE，与AH＋BH＝AE＋BE矛盾，
　　∴E不能在A、H之间。
∵E不能在A、H之间，H也不能在A、E之间，∴E、H重合，而BH平分∠ABC，∴BE平分∠ABC。

我叼爆了~
强烈给分吧~

Answer 2

我找到了一个相似的题，他把BE平分∠ABC作为已知，把BC=BE+AE作为求证，此题中用到了∠BAC=100°并进行解各角的度数，他的思路是在BC上截取一个等于AB一个线段，再截取一个等于BE线段，分别和点E连接。所以我认为你的这个题很可能是个错题，因为BC=BE+AE很难有多个用途。

Answer 3

分两步走。

第一步：求证DE=DC

在BC上取点D，令BD=BE，连接ED。

∵∠BAC=100º, AB=AC

∴∠ABC=∠C =(180º-100º)÷zhi2=40º

∵BE是角平分线，BD=BE

∴∠2=∠3=80º

∠2=∠4+∠C (⊿DEC的外角)

∴∠4=40º

∴∠4=∠5

∴DE=DC

第二步：求证DE=AE

延长线段BA到O点，使BO=BE，连接OE。

∵BO=BE  BE=BD

∴BO=BD

∵BE是角平分线

∴∠1=∠7

∴⊿OBE≌⊿DBE (SAS)

∴∠2=∠O=80º DE=OE

∠6=180º-∠BAC =180º-100º=80º

∴AE=OE

∴DE=AE

∵BC=BD+DC

∴BC=BE+AE