【？】近世代数：确定35阶群的互不同构的类型

Question

求详细过程。。

Answer 1

由Sylow定理知35阶G群有唯一的5阶子群A和7阶子群B，且A和B都是正规子群
取A中的5阶元a和B中的7阶元b，由A和B的正规性以及A∩B={e}得ab=ba，这样ab就是G的35阶元，即G必定是循环群追问

“由A和B的正规性以及A∩B={e}得ab=ba，这样ab就是G的35阶元”
这里怎么说明A∩B={e}？ 然后怎么得到ab=ba ，ab是35阶元？
最后也就是说他只同构于模35剩余类这个群了？
谢谢

追答

你应该把我的回答当提示自己一步一步证明，比原问题已经容易多了

若A∩B中存在非单位元x
x属于A说明o(x)=5
x属于B说明o(x)=7
矛盾

利用正规性，aB=Ba，所以存在b'属于B使得ab=b'a
同理存在a'属于A使得b'a=a'b'
所以ab=a'b'，等价于(a')^{-1}a = b'b^{-1}，所以只能都等于e
然后用交换性容易讨论出o(ab)=35

追问

抽象代数里好多东西我没能搞清楚。。。这门课学的头大了。。您是数学系的学生？老师？ 可以留个qq什么的吗？还望多指教

Answer 2

在解释
若A∩B中存在非单位元x
x属于A说明o(x)=5
x属于B说明o(x)=7
矛盾
时，最好写成

x属于A说明o(x)|5
x属于B说明o(x)|7
得o(x)01