平行四边形矩形菱形正方形的性质和判定如下：
平行四边形性质：
1、平行四边形的对边相等 。
2、平行四边形的对角相等 。
3、平行四边形的对角线互相平分。
平行四边形判定：
1、两组对边分别相等的四边形是平行四边形 。
2、对角线互相平分的四边形是平行四边形 。
3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 。
4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形 。
5、两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
矩形性质：
(1)具有平行四边形的所有性质。
(2) 特有性质：四个角都是直角，对角线相等。
矩形判定：
1、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、有三个角是直角的四边形是矩形。
3、对角线相等的平行四边形是矩形。
菱形性质：
1、具有平行四边形的一切性质。
2、菱形的四条边都相等。
3、菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角。
4、菱形面积=底×高=对角线乘积的一半。
菱形判定：
1、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2、四边都相等的四边形是菱形。
3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
正方形性质：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
正方形的判定方法：
1、先证它是矩形，再证有一组邻边相等或对角线垂直。
2、先证它是菱形,再证它有一个角为直角或对角线相等。
数学学科简述：
数学：英语：mathematics，源自古希腊语μθημα（máthēma）；经常被缩写为math或maths]，是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。 数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。
从这个意义上，数学属于形式科学，而不是自然科学。不同的数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。 在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，同时也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。