已知函数g(x)=x/lnx, 函数h(x)=g(x)-bx^2恰有两个零点，求实数b的范围。

Question

这题用图像还是导数，我都解不出来。
先谢谢各位指教！

Answer 1

h(x)=g(x)-bx^2恰有两个零点

即：g(x)与y=bx²有两个交点

对于g(x)=x/lnx而言，g'(x)=(lnx-1)/(ln²x)

∴(0,e)递减，（e，+∞）递增

∴最小值是g(e)=e

对于y=bx²,当b<0时，开口向下，不可能有两个交点，∴b>0

在x=e时，y=be²

∴为了有两个交点，必须be²≤e，解得0<b≤1/e

Answer 2

h(x)=x/lnx-bx²
从定义域上可以知道x>0

开始第一步运算讨论零点，
h(x)=x(1/lnx-bx)
要么x=0（不可能），要么1/lnx-bx=0

那我们设g(x)=1/lnx-bx进行讨论
先对g(x)求导=1/（lnx）² - b
很显然1/（lnx）² 永远≥0，如果b<0，那g(x)导数≥0，h(x)是增函数，只有一个零点。
所以b<0 （第一个条件出来了）

继续讨论，设g(x)导数=0
则lnx=±（1/b）½

很好，从这边开始重要的环节到了。
说明有两个极值点，h(x)函数是三段单调性分别为 增减增 （自己去算吧）
那很好，假设两个极值点x轴坐标分别为x1、x2，
当h(x1)>0，h(x2)<0 ；
这个时候肯定有三个零点（自己画图就知道了）

当h(x1)<0，h(x2)<0 ；
这个时候肯定有一个零点（自己画图就知道了）

当h(x1)>0，h(x2)>0 ；
这个时候肯定有一个零点（自己画图就知道了）

当h(x1)=0，h(x2)<0 ；
这个时候肯定有两个零点（自己画图就知道了）

当h(x1)>0，h(x2)=0 ；
这个时候肯定有两个零点（自己画图就知道了）

我已经算到这里，接下来靠你了追问

请问g(x)=1/lnx - bx求导不是g'(x)= -1/xlnx - b吗？这样怎么求x？谢谢您的解答！

追答

忘了，一时算错了，但是你也算错了，g'(x)= -1/ln²x - b = -（1/ln²x + b）
同样在1/ln²x>0，所以b必须小于0才可能g'(x)=0，不然永远是减函数的话，就是在定义域内单调递减，最多有一个零点，自己考虑吧

本回答被提问者和网友采纳

Answer 3

此题已经很高质量，请管理员删除！