AB垂直于BD，CD垂直于BD，垂足分别为B,D,AD和BC交于点E，EF垂直于BD

Question

垂足为F，(1)求证1/AB+1/CD=1/EF(2)S三角形ABD，S三角形BED和S三角形BDC的关系，并给出证明

Answer 1

解：
∵AB，CD,EF分别垂直BD
∴AB‖EF‖CD
∴EF/AB=DF/BD EF/CD=BF/BD
∵DF/BD+BF/BD=1
∴EF/AB+EF/CD=1
∴1/AB+A/CD=1/EF

垂直改为斜交也成立 只要满足AB‖EF‖CD

分别过A E C做BD的垂线 交BD于A' E' C'

根据最上面的证明可得：1/AA'+1/CC'=1/EE'

∴EE'/AA'+EE'/CC'=1

∵S△ABD=1/2(BD*AA')，S△BCD=1/2(BD*EE'),S△EBD=1/2(BD*CC')

∴S△BCD:S△ABD=EE'/AA' S△BCD:S△EBD=EE'/CC'

∴S△BCD:S△ABD+S△BCD:S△EBD=1

Answer 2

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