行列式的余子式是指在行列式中划去某一行或某一列元素后，剩余元素构成的二阶行列式。它是原行列式的一个子式，但与原元素的位置有关。
以三阶行列式为例：
\[
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}
\]
如果我们关注元素 \(a_{22}\)，它的余子式是划去 \(a_{22}\) 所在的第二行和第二列后剩下的元素构成的二阶行列式：
\[
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{31} & a_{32}
\end{vmatrix}
\]
其结果是 \(a_{11}a_{32} - a_{12}a_{31}\)。
当我们谈论某个元素的代数余子式时，我们需要在它的余子式的基础上乘上一个位置系数，这个系数是 \((-1)\)^{(\text{行数} + \text{列数})}\)。例如，对于 \(a_{23}\) 的代数余子式，我们需要在余子式的基础上乘上 \((-1)\)^{(2+3)} = -1\)，因此：
\[
\text{代数余子式 of } a_{23} = -1 \times \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{31} & a_{32}
\end{vmatrix} = -(a_{11}a_{32} - a_{12}a_{31})
\]
这样，我们就得到了 \(a_{23}\) 的代数余子式。
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