已知矩阵A的所有特征值为-2,求A的行列式等于几?

Question

如题所述

Answer 1

答案为2、4、0。

解题过程如下：

1. A的行列式等于A的全部特征值之积

所以 |A| = -1*1*2 = -2

2. 若a是可逆矩阵A的特征值, 则 |A|/a 是A*的特征值

所以A*的特征值为 2,-2,-1

所以|A*| = 2*(-2)*(-1) = 4.

注: 当然也可用伴随矩阵的行列式性质 |A*| = |A|^(n-1) = |A|^2 = (-2)^2 = 4.

3. 若a是可逆矩阵A的特征值, 则对多项式g(x), g(a)是g(A)的特征值

这里 g(x) = x^2-2x+1, g(A)=A^2-2A+E

所以 g(A)=A^2-2A+E 的特征值为 g(-1),g(1),g(2), 即 4,0,1

所以 |A^2-2A+E| = 4*0*1 = 0

特征值是线性代数中的一个重要概念。在数学、物理学、化学、计算机等领域有着广泛的应用。设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量。

扩展资料

求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：

第一步：计算的特征多项式；

第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；

第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组：

的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是

（其中是不全为零的任意实数）．

[注]：若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定．反之，不同特征值对应的特征向量不会相等。