一个函数连续，意思是不是在整个定义域，函数值都存在，是A(常数)？不可能存在无穷？

Question

如题所述

Answer 1

函数f连续的的定义是对于任意定义域内x，我们都有f连续于f(x)。而f连续于f(x)的严格定义是对于任何a>0, 存在b>0使得对于任何定义域内满足|x-y|<b的y，我们有|f(x)-f(y)|<a。
而存在无穷这句话本身就不成立，因为无穷并不是一个数，而是一个定义，用于描述对于任何给定常量都存在比该常量大的状态

Answer 2

连续函数的性质，即是一条没有断裂的连续曲线，在整个定义域连续有界，存在最值，但也要看表达式中是否含有参数。追问

所以我的理解是对的？？有参数，函数连续，最后结果也是函数值都是常数？？

Answer 3

很好的问题 我也在纠结这个 首先百度百科对函数值的定义是 “函数值，是指当x在定义域内取一个确定值a时，对应的y的值称为函数值。”因此，目前我的理解是：函数值一定是一个确定的数 而不是无穷！因为函数值是在x在定义域内映射到的值，是确定的，是唯一的。那些取了x后函数值为无穷的点，早已被排除在定义域之外了。比如y=1/x中x=0、y=tanx中x=π/2。这些定义域之外的点都是代入后分母为0，使函数没意义的点。反应到图像上就是该点极限为无穷(极限不存在) 所以我认为 即使是不连续的函数，比如分段函数，定义域内函数值都是A(常数),不可能为无穷。这也是为什么某点极限和某点的函数值没有关系，甚至这个点有没有定义都无所谓。若该点函数值和该点极限很巧合地相等了 那么该点就连续！