线性代数。设矩阵A满足A²=E,且A的特征值全为1 证明A= E

Question

如题所述

Answer 1

A^2-E=0
(A-E)(A+E)=0;
注意：由题意可知A的特征值都是1，那么-1不是A的特征值，即（-1）E-A的行列式≠0，从而E+A可逆。那么消去A+E，就得到A-E=0.
这样好理解 欢迎追问

Answer 2

A^2-E=0
(A-E)(A+E)=0;
A+E的特征值都是2，从而可逆。那么消去A+E，就得到A-E=0.追问

A+ E的特征值都是2从而可逆???

追答

这是一个定理，化为Jordan标准型后易看出。或者说(A+E)x=0仅仅有0解

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