第1个回答 2022-11-29
变换矩阵的求解方法
矩阵环没有非平凡理想
来自专栏线性代数与矩阵分析
本文假定读者已阅读过第二章，并约定：
（一）将系数写在列向量右侧，以及行向量左侧；
（二）将矩阵的数乘定义为“用数量矩阵右乘一个矩阵”.
这样做是为了符合矩阵乘法.
部分定义、定理带有命名，很多时候只是笔者为了行文方便而设置的.
参考：
矩阵分析-严质彬
高等代数-丘维声
线性代数-Gilbert Strang
2.4.4 变换矩阵的求解方法
根据 标准形定理，
任一复方阵的 标准形都是不难求得的，但是变换矩阵 应该怎么求呢？
第一步：计算特征值.
计算出 的全部特征值 .
【注】计算特征值最古老的办法就是计算特征多项式的根.如果你觉得计算行列式很无趣，可以了解一下数值分析这门课程.它介绍了一些求解特征值的方法，本文在这里举一例.
（一）通过相似变换，将 变换成上海森堡矩阵（Upper Hessenberg Matrix）.这是因为，特征值是相似关系下的一个不变量，只要找到 的相似类当中最简单的一个（例如上三角矩阵），就能直接求出 的特征值.问题是怎么找 的相似矩阵呢？
请看相似关系的定义：存在可逆矩阵 ，使得 成立.右乘可逆矩阵相当于作若干次初等列变换，那么我们在作初等列变换的同时，对行作逆变换，不就能构造出 的一个相似矩阵了吗？
可以证明，最终 会与一个上海森堡矩阵相似，它长这样：
也就是左下角某条次对角线以下全部是 .
（二）作正交分解（do the QR Decomposition），将上海森堡矩阵主对角线下的元素变成 .
（三）上三角矩阵的特征值就是主对角线上的元素.
这可比计算特征多项式容易多了.
【注】END
第二步：确定每个特征值的代数重数
找出互异特征值 ，确定每个互异特征值的代数重数 ，也就是它作为矩阵 的特征多项式的根的重数.
第三步：通过代数重数和几何重数之间的大小关系，判断矩阵是否能相似对角化
将所有 都变换成行最简形（RREF）.由于
如果你忘了这一长串等式是怎么来的，请看第一章.
只要某个特征值的代数重数不等于它的几何重数，那么 一定不能与一个对角矩阵相似.
第四步：写出矩阵的Jordan标准形
其中
每个互异特征值 都对应一个 ，而且 的阶数等于 的代数重数.
（1）如果 的代数重数等于几何重数，那么 就是一个完美的对角矩阵或者一个数.
（2）如果 的代数重数大于几何重数，那么 的右上次对角线上全部是 ，即红色的部分.
求出 之后，我们再来看变换矩阵.
第五步：求解广义特征向量
变换矩阵 的列向量组是线性无关的，它由 的广义特征向量按列拼成.
（1）如果 的代数重数等于几何重数，那么属于特征值 的广义特征向量就是通常意义上的（ordinary）特征向量，通过矩阵方程
求出基础解系，即 的零空间的一个基.然后将 的零空间的一个基按列拼成矩阵：
（2）如果 的代数重数大于几何重数，那么我们按照以下步骤求解广义特征向量：
1.找到 对应的若当块
2.设属于特征值 的广义特征向量是 ，一共有 个.我们将按列拼成矩阵
3.根据等式
代入
得到
然后将上述等式改写成方程组
看出规律了吗？就是首先求解 ，然后不断迭代：
这是一些非齐次线性方程.最终计算出属于特征值 的全部广义特征向量
（3）由于
我们按照上述方法，计算出所有 之后，按照互异特征值的顺序（怎么排序都可以，但无论如何都一定要让
三者的位置相同.随后将 拼成矩阵
就是我们要求的变换矩阵，也称广义特征向量矩阵或广义模态矩阵（generalized modal matrix）.
本文在此处布置一个思考题：
为什么这样求出的广义特征向量是线性无关的？（如果你忘记了，请复习一下第二章）
例题
首先计算特征值，得到 .
：
的零行数是 ，即特征值 的几何重数是 ，那么 就是一个数.由于 的零空间的基是方程
的解，因此得到
位于下面的分量尽量取正数
因此 就是属于特征值 的特征向量，当然也可以称为属于特征值 的广义特征向量.
（2）对于 ：
，小于代数重数，那么 就是一个二阶方阵，且右上次对角线上有且仅有一个 ，因此 的标准形是
不过我们还没做完呢. 的零空间的基是
并且没有足够多的线性无关的特征向量.那么我们通过公式
来求解属于特征值 的全部广义特征向量.由于 的代数重数是 ，因此属于特征值 的全部广义特征向量有且仅有 个，我们已经找到一个了（就是 ），接下来解非齐次线性方程即可求出另一个.
即
得到
然后将 按列拼成矩阵 ：
最后查看 的行最简形：
看到 满秩.因此这就是我们要求的变换矩阵.最后将方程组
改写成矩阵方程：
因此这样求得的广义特征向量、变换矩阵都是符合要求的.
最后通过软件验证一下：